Kamis, 5 November · 25 soal · 60 menit

Matematika Tingkat Lanjut

TKA Matematika Tingkat Lanjut pada 5 November 2026 terdiri dari 25 soal dengan waktu 60 menit. Cakupannya: aljabar, geometri dan pengukuran, serta kalkulus (pada rangkuman ini hanya limit).

Bentuk soal ada tiga: pilihan ganda, pilihan ganda kompleks (memilih semua pernyataan yang benar), dan benar/salah per kategori. Pada dua bentuk terakhir, setiap pernyataan harus diperiksa sendiri-sendiri, sehingga ketelitian pada sifat dan syarat berlaku sama pentingnya dengan kecepatan menghitung.

Cakupan resmi. Cakupan mengikuti tabel muatan Matematika Tingkat Lanjut pada Perka BSKAP No. 045/H/AN/2025 hlm. 26-28, yang memuat tujuh subelemen: Matriks, Polinomial (suku banyak), Fungsi, Vektor, Lingkaran, Transformasi geometri, dan Limit. Kalkulus hanya berisi limit fungsi aljabar dan trigonometri, dan soal limit dapat diselesaikan tanpa Teorema L'Hôpital. Turunan dan Integral tidak termasuk cakupan, sehingga seluruh materi tentang keduanya sudah dihapus dari rangkuman ini. Subbab yang tidak disebut eksplisit di tabel resmi tetapi dilatihkan guru ditandai "dilatihkan guru" dan diletakkan sesudah materi inti bab: persamaan matriks dan penerapan pada tabel produksi; pembagi berderajat 2 pada polinomial; pergeseran grafik fungsi; perkalian titik, sudut, proyeksi, pembagian ruas garis, dan vektor segaris; kedudukan dua lingkaran; lingkaran sebagai objek transformasi dan luas bayangan; limit di tak hingga dan limit kiri-kanan fungsi sepotong-sepotong. Dua subbab diberi label prioritas rendah (tambahan, belum tentu keluar) karena tidak ada di dokumen resmi maupun di set soal guru: hubungan akar dan koefisien polinomial, serta bayangan kurva umum oleh transformasi. Materi di luar tabel resmi, yaitu matriks ortogonal, perkalian silang vektor, pembagian luar ruas garis, komposisi dan invers fungsi, fungsi tangga, teorema nilai antara, dan kekontinuan, sudah dihapus.

MATLAN-01

Matriks

Inti. Butir resmi: operasi matriks, determinan, dan invers matriks dengan elemen real; determinan dan invers hanya untuk ordo $2 \times 2$ atau $3 \times 3$ . Dilatihkan guru (tidak disebut eksplisit di tabel resmi): persamaan matriks ( $A X = B$ , $X A = B$ , $p M^{- 1} = qN$ ), sistem persamaan linear, dan penerapan pada tabel produksi.

Invers dikali dari sisi yang sama dengan letak A: kiri untuk AX = B, kanan untuk XA = B. Contoh angka: M dengan baris (1, 2) dan (3, 4) serta P dengan baris (0, 1) dan (1, 0) memberi MP ≠ PM.

Rumus / kaidah. Operasi matriks.

Ordo $m \times n$ : $m$ baris dan $n$ kolom. Dua matriks sama bila ordonya sama dan elemen seletak sama.
Jumlah dan selisih: hanya untuk ordo sama; elemen seletak dijumlahkan atau dikurangkan.
Perkalian skalar $k A$ : setiap elemen dikali $k$ .
$A B$ ada bila banyak kolom $A$ sama dengan banyak baris $B$ ; ordo $(m \times n) (n \times p) = (m \times p)$ .
Elemen baris ke- $i$ kolom ke- $j$ pada $A B$ : jumlah hasil kali elemen berpasangan dari baris ke- $i$ $A$ dan kolom ke- $j$ $B$ .
Perkalian matriks tidak komutatif: pada umumnya $A B \neq = B A$ .
Pengecualian: $A I = I A = A$ dan $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ .
Matriks identitas $I$ : elemen 1 pada diagonal utama dan 0 di tempat lain. Matriks nol $O$ : semua elemen 0.
Transpos $A^{T}$ : baris dan kolom ditukar. Transpos hasil kali membalik urutan: $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

Rumus / kaidah. Determinan (hanya matriks persegi; pada soal $2 \times 2$ atau $3 \times 3$ ).

Determinan $2 \times 2$ : $det (a c b d) = a d - b c$
Determinan $3 \times 3$ , ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama: $det a d g b e h c f i = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)$
Tanda kofaktor bergantian mengikuti pola $+ - + - + - + - +$ .
Ekspansi boleh dilakukan sepanjang baris atau kolom mana pun; pilih yang memuat paling banyak nol.
Sarrus (hanya $3 \times 3$ ): jumlahkan tiga hasil kali diagonal searah, kurangkan tiga hasil kali diagonal berlawanan.
$det = a e i + b f g + c d h - ce g - a f h - b d i$ (hasilnya sama dengan ekspansi kofaktor).
$det (A B) = det A \cdot det B$ ( $A$ dan $B$ persegi, ordo sama).
Untuk matriks berordo $n$ : $det (k A) = k^{n} det A$ , karena $k$ dikeluarkan dari tiap baris, sebanyak $n$ baris.
$det (A^{T}) = det A$ .
$det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ , hanya bila $det A \neq = 0$ .
Menukar dua baris: determinan berubah tanda.
Dua baris (atau kolom) sebanding, atau ada baris nol: $det = 0$ .
Satu baris dikali $k$ : determinan dikali $k$ .
Baris ditambah kelipatan baris lain: determinan tetap.
Matriks segitiga atau diagonal: determinan sama dengan hasil kali elemen diagonal utama.

Rumus / kaidah. Invers.

Invers $2 \times 2$ ada bila $a d - b c \neq = 0$ : $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$
Asal-usul: $(a c b d) (d - c - b a) = (a d - b c) I$ .
Invers $3 \times 3$ : $A^{- 1} = \frac{1}{det A} adj (A)$ , dengan syarat $det A \neq = 0$ .
$adj (A)$ adalah transpos dari matriks kofaktor. Kofaktor $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ , dengan $M_{ij}$ determinan matriks yang tersisa setelah baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ dibuang.
Matriks singular: persegi dengan $det = 0$ , tidak punya invers.
Invers hasil kali membalik urutan: $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ (bila $A$ dan $B$ punya invers).

Rumus / kaidah. Persamaan matriks dan sistem linear (dilatihkan guru).

Dari $A X = B$ diperoleh $X = A^{- 1} B$ (invers dikali dari kiri).
Dari $X A = B$ diperoleh $X = B A^{- 1}$ (invers dikali dari kanan).
Dari $A XB = C$ diperoleh $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ . Dari $A X + B = C$ diperoleh $X = A^{- 1} (C - B)$ .
Sistem $a x + b y = p$ dan $c x + d y = q$ ditulis $(a c b d) (x y) = (p q)$ .
Matriks koefisien singular: sistem tidak punya penyelesaian tunggal (tidak ada penyelesaian, atau tak hingga banyak).
Aturan Cramer, dengan $D = a d - b c \neq = 0$ : $x = \frac{D _{x}}{D}$ dan $y = \frac{D _{y}}{D}$ , dengan $D_{x} = p d - b q$ dan $D_{y} = a q - p c$ .
Pola $p M^{- 1} = qN$ : ganti $M^{- 1}$ dengan $\frac{1}{det M} adj (M)$ , lalu samakan elemen seletak kedua ruas untuk mendapat hubungan $p$ dan $q$ .
Pada soal pilih semua yang benar, periksa tiap pernyataan satu per satu.

Rumus / kaidah. Pernyataan yang sering diuji.

SALAH: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ . Yang benar $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ; bentuk pertama benar hanya bila $A B = B A$ .
SALAH: bila $A B = O$ , maka $A = O$ atau $B = O$ .
Contoh penyangkal: $(1000) (0001) = O$ .
BENAR: bila $det A \neq = 0$ dan $A B = A C$ , maka $B = C$ .

Rumus / kaidah. Soal cerita dan tabel produksi (dilatihkan guru).

Baris matriks = jenis objek (hotel, produk); kolom = jenis atribut (tipe kamar, bahan).
Total yang dicari = matriks data dikali vektor jumlah atau harga.
Periksa ordo lebih dulu: banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua.
Contoh: pendapatan tiap hotel = (matriks jumlah kamar: baris hotel, kolom tipe kamar) dikali (vektor harga per tipe).
Matriks bahan $M$ : baris = produk, kolom = bahan. Vektor pesanan $q$ : jumlah tiap produk. Bahan total $= M^{T} q$ .
Bila satu elemen $M$ memuat parameter $k$ : tulis persamaan dari entri hasil perkalian yang totalnya diketahui, lalu selesaikan $k$ .

Jebakan.

Urutan saat mengalikan dengan invers tertukar.
$A X = B$ : invers dikali dari kiri, $X = A^{- 1} B$ . $X A = B$ : invers dikali dari kanan, $X = B A^{- 1}$ .
Urutan menentukan hasil. Misalkan $M = (1324)$ dan $P = (0110)$ .
$MP = (2413)$ , tetapi $PM = (3142)$ .
$det (A + B) = det A + det B$ tidak berlaku pada umumnya.
$det (k A) = k^{n} det A$ untuk ordo $n$ , bukan $k det A$ .
Contoh: $A$ berordo $3 \times 3$ dengan $det A = 5$ : $det (2 A) = 2^{3} \cdot 5 = 40$ , bukan 10.
Invers dicari tanpa memeriksa determinan lebih dulu. Bila parameter dalam matriks membuat $det = 0$ , invers tidak ada.
Pada invers $2 \times 2$ , lupa menukar $a$ dan $d$ , lupa mengubah tanda $b$ dan $c$ , atau lupa faktor $\frac{1}{det}$ .
Pada ekspansi kofaktor $3 \times 3$ , lupa pola tanda $+, -, +$ pada suku kedua.
Pada invers $3 \times 3$ , memakai matriks kofaktor tanpa mentranspos menjadi $adj (A)$ .
Sarrus dipakai pada matriks selain $3 \times 3$ . Sarrus hanya berlaku untuk $3 \times 3$ .
Pada soal cerita, urutan perkalian salah sehingga ordo tidak cocok. Tulis ordo kedua matriks lebih dulu, misalnya $(3 \times 3) (3 \times 1)$ , baru hitung.

Contoh singkat. Selesaikan sistem $3 x + y = 7$ dan $5 x + 2 y = 12$ .

Bentuk matriks: $A = (3512)$ , $B = (712)$ , $X = (x y)$ , sehingga $A X = B$ .
$det A = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 1$ , sehingga invers ada.
$A^{- 1} = \frac{1}{1} (2 - 5 - 1 3) = (2 - 5 - 1 3)$
$X = A^{- 1} B = (2 \cdot 7 - 1 \cdot 12 - 5 \cdot 7 + 3 \cdot 12) = (21)$
Pemeriksaan: $3 \cdot 2 + 1 = 7$ dan $5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 12$ , keduanya benar.

Jawaban: $x = 2$ dan $y = 1$ .

Contoh lanjutan. Determinan dan invers $3 \times 3$ , persamaan matriks, dan pola $p M^{- 1} = qN$ .

Contoh A. Hitung $det A$ untuk $A = 210131012$ .

Ekspansi baris pertama: $det A = 2 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 0 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$ .
Suku pertama: $2 (6 - 1) = 2 \cdot 5 = 10$ .
Suku kedua: $- 1 (2 - 0) = - 2$ .
Suku ketiga: $0 \cdot 1 = 0$ .
Jumlah: $10 - 2 + 0 = 8$ .
Pemeriksaan dengan Sarrus: $(2 \cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2) = 12 - 4 = 8$ .

Jawaban: $det A = 8$ .

Contoh B. Tentukan $A^{- 1}$ untuk matriks $A$ pada Contoh A.

$det A = 8 \neq = 0$ , sehingga invers ada.
Kofaktor baris pertama: $C_{11} = + (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 5$ , $C_{12} = - (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) = - 2$ , $C_{13} = + (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 1$ .
Kofaktor baris kedua: $C_{21} = - (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = - 2$ , $C_{22} = + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = 4$ , $C_{23} = - (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = - 2$ .
Kofaktor baris ketiga: $C_{31} = + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = 1$ , $C_{32} = - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = - 2$ , $C_{33} = + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 5$ .
Matriks kofaktor $= 5 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 5$ . Matriks ini simetris, sehingga transposnya sama: $adj (A)$ sama dengan matriks kofaktor.
$A^{- 1} = \frac{1}{8} 5 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 5$ .
Pemeriksaan: baris pertama $A$ dikali kolom pertama $adj (A)$ adalah $2 \cdot 5 + 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 1 = 8$ , dibagi 8 sama dengan 1. Baris pertama $A$ dikali kolom kedua $adj (A)$ adalah $2 \cdot (- 2) + 1 \cdot 4 + 0 \cdot (- 2) = 0$ .

Jawaban: $A^{- 1} = \frac{1}{8} 5 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 5$ .

Contoh C. Diketahui $A = (2513)$ dan $B = (43 - 1 2)$ . Tentukan $X$ yang memenuhi $A X = B$ , lalu hitung $det X$ .

$det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1$ , sehingga $A^{- 1} = (3 - 5 - 1 2)$ .
Dari $A X = B$ : $X = A^{- 1} B$ (invers dikali dari kiri).
Baris 1 kolom 1: $3 \cdot 4 + (- 1) \cdot 3 = 9$ . Baris 1 kolom 2: $3 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 2 = - 5$ .
Baris 2 kolom 1: $(- 5) \cdot 4 + 2 \cdot 3 = - 14$ . Baris 2 kolom 2: $(- 5) \cdot (- 1) + 2 \cdot 2 = 9$ .
$X = (9 - 14 - 5 9)$ dan $det X = 9 \cdot 9 - (- 5) (- 14) = 81 - 70 = 11$ .
Pemeriksaan: $det X = \frac{det B}{det A} = \frac{4 \cdot 2 - ( - 1 ) \cdot 3}{1} = 11$ .

Jawaban: $X = (9 - 14 - 5 9)$ dan $det X = 11$ .

Contoh D. Diketahui $M = (3212)$ , $N = (2 - 2 - 1 3)$ , dan $p M^{- 1} = qN$ dengan $q \neq = 0$ . Periksa pernyataan: (1) $det M = 4$ ; (2) $p = 4 q$ ; (3) $N = M^{- 1}$ .

$det M = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 4$ , sehingga pernyataan (1) benar.
$M^{- 1} = \frac{1}{4} (2 - 2 - 1 3) = \frac{1}{4} N$ .
Substitusi: $p \cdot \frac{1}{4} N = qN$ . Elemen baris 1 kolom 1 pada $N$ adalah 2 (bukan nol), sehingga $\frac{p}{4} \cdot 2 = q \cdot 2$ , yaitu $p = 4 q$ . Pernyataan (2) benar.
$N = 4 M^{- 1}$ , bukan $M^{- 1}$ . Pernyataan (3) salah.
Contoh nilai: bila $q = 3$ , maka $p = 4 \cdot 3 = 12$ .

Jawaban: (1) dan (2) benar, (3) salah; $p = 4 q$ .

Sudah dipelajari

MATLAN-02

Polinomial (Suku Banyak)

Inti. Butir resmi: operasi, pemfaktoran, dan suku sisa polinomial berderajat paling tinggi 4 dengan koefisien real. Dilatihkan guru: pembagi berderajat 2 (sisa $p x + q$ ) dan soal "habis dibagi". Prioritas rendah (tambahan, belum tentu keluar): hubungan akar dan koefisien.

Skema Horner untuk x³ − 6x² − x + 6 dibagi (x − 1): angka terakhir 0 adalah sisa, tiga angka sebelumnya adalah koefisien hasil bagi.

Rumus / kaidah. Bentuk dan operasi.

Suku banyak derajat $n$ : $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , dengan $a_{n} \neq = 0$ . Pada soal, $n \leq 4$ .
Penjumlahan dan pengurangan dilakukan pada suku sejenis. Derajat $P \pm Q$ paling besar $max (de g P, de g Q)$ ; derajat $P \cdot Q$ sama dengan jumlah derajat.
Kesamaan polinomial: koefisien suku sederajat sama; dipakai untuk mencari konstanta.
Bentuk pemfaktoran: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ dan $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$ .

Rumus / kaidah. Pembagian, sisa, dan faktor.

Hasil pembagian: $P (x) = H (x) \cdot (pembagi) + S (x)$ , dengan derajat $S$ lebih kecil daripada derajat pembagi.
Pembagi berderajat 1 menghasilkan sisa konstanta; pembagi berderajat 2 menghasilkan sisa $p x + q$ .
Horner menghitung $P (k)$ sekaligus hasil bagi oleh $(x - k)$ .
Turunkan koefisien pertama. Kalikan dengan $k$ , tambahkan ke koefisien berikutnya; ulangi sampai akhir.
Angka terakhir sama dengan $P (k)$ , yaitu sisa. Angka-angka sebelumnya adalah koefisien hasil bagi.
Suku yang tidak ada ditulis berkoefisien 0. Contoh: $x^{3} - 7 x + 6$ memakai koefisien $1$ , $0$ , $- 7$ , $6$ .
Teorema sisa, pembagi $(x - a)$ : $S = P (a)$ .
Teorema sisa, pembagi $(a x - b)$ : $S = P (\frac{b}{a})$ .
Teorema faktor: $(x - a)$ faktor dari $P (x)$ jika dan hanya jika $P (a) = 0$ .
"Habis dibagi" berarti sisa $= 0$ , sama dengan pembagi tersebut adalah faktor.

Rumus / kaidah. Pembagi berderajat 2 (dilatihkan guru).

Sisa pembagian oleh $(x - a) (x - b)$ dengan $a \neq = b$ berbentuk $S (x) = p x + q$ .
$p$ dan $q$ ditentukan dari $P (a) = p a + q$ dan $P (b) = p b + q$ .
Pembagi kuadrat yang tidak bisa difaktorkan, misalnya $x^{2} + 1$ : sisa $p x + q$ ; substitusikan $x^{2} = - 1$ .
Contoh: $x^{3} + 2 x + 5$ dibagi $x^{2} + 1$ . Dengan $x^{2} = - 1$ : $x^{3} = x \cdot x^{2} = - x$ , sehingga sisa $= - x + 2 x + 5 = x + 5$ .

Rumus / kaidah. Akar rasional dan pemfaktoran.

Akar rasional: koefisien bilangan bulat dan $\frac{p}{q}$ (pecahan paling sederhana) adalah akar. Maka $p$ membagi $a_{0}$ dan $q$ membagi $a_{n}$ .
Contoh: $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ mempunyai kandidat akar $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ .
$P (2) = 0$ dan $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = (x - 2) (2 x - 1) (x + 1)$ , sehingga akarnya $2, \frac{1}{2}, - 1$ .
Langkah memfaktorkan: cari satu akar dengan mencoba kandidat, turunkan derajat dengan Horner, lalu faktorkan hasil bagi. Pada derajat 4, ulangi langkah ini sekali lagi.

Rumus / kaidah. Hubungan akar dan koefisien (prioritas rendah: tambahan, belum tentu keluar).

Untuk $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ dengan akar $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ , dan $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .
Untuk $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$ : jumlah akar $= - \frac{b}{a}$ , jumlah hasil kali dua-dua $= \frac{c}{a}$ , jumlah hasil kali tiga-tiga $= - \frac{d}{a}$ , hasil kali keempat akar $= \frac{e}{a}$ .
Rumus ini didapat dari penjabaran $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots$ dan menyamakan koefisien.

Jebakan.

Pembagi $(a x - b)$ dengan $a \neq = 1$ : sisa tetap $P (\frac{b}{a})$ . Sisa pembagian oleh $(2 x - 1)$ adalah $P (\frac{1}{2})$ , bukan $P (2)$ ; sisa oleh $(x + 3)$ adalah $P (- 3)$ , bukan $P (3)$ .
Hasil bagi dari Horner dengan $k = \frac{b}{a}$ harus dibagi $a$ agar menjadi hasil bagi oleh $(a x - b)$ .
Lupa menulis koefisien 0 untuk pangkat yang hilang pada Horner, sehingga seluruh hasil bergeser.
Sisa pembagian oleh pembagi berderajat 2 berbentuk $p x + q$ , bukan konstanta.
Tanda pada rumus akar (prioritas rendah): kubik berurutan $-, +, -$ dan kuartik berurutan $-, +, -, +$ , semuanya dibagi koefisien utama $a$ . Lupa membagi $a$ bila $a \neq = 1$ adalah kesalahan yang sering terjadi.

Contoh singkat. Suku banyak $x^{3} - 6 x^{2} + p x + 6$ habis dibagi $(x - 1)$ . Tentukan $p$ lalu faktorkan seluruhnya.

Habis dibagi $(x - 1)$ berarti $P (1) = 0$ : $1 - 6 + p + 6 = 0$ , sehingga $p = - 1$ .
Suku banyaknya menjadi $x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$ dengan koefisien $1$ , $- 6$ , $- 1$ , $6$ .
Horner dengan $k = 1$ : $1$ ; $- 6 + 1 = - 5$ ; $- 1 + (- 5) = - 6$ ; $6 + (- 6) = 0$ . Hasil: $1$ , $- 5$ , $- 6$ , sisa $0$ .
Hasil bagi: $x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)$ .
Bentuk faktor: $(x - 1) (x - 6) (x + 1)$ , dengan akar $1$ , $6$ , dan $- 1$ .
Pemeriksaan: $P (6) = 216 - 216 - 6 + 6 = 0$ dan $P (- 1) = - 1 - 6 + 1 + 6 = 0$ .

Jawaban: $p = - 1$ dan $x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = (x - 1) (x - 6) (x + 1)$ .

Contoh lanjutan. Sisa pembagian oleh pembagi berderajat 2 dan pemfaktoran derajat 4.

Contoh A. Polinomial $P (x)$ dibagi $(x - 1)$ bersisa 3 dan dibagi $(x + 2)$ bersisa $- 6$ . Tentukan sisa pembagian $P (x)$ oleh $x^{2} + x - 2$ .

Faktorkan pembagi: $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ .
Sisa berbentuk $p x + q$ , sehingga $P (x) = (x - 1) (x + 2) H (x) + p x + q$ .
Teorema sisa: $P (1) = 3$ memberi $p + q = 3$ .
Teorema sisa: $P (- 2) = - 6$ memberi $- 2 p + q = - 6$ .
Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua: $3 p = 9$ , sehingga $p = 3$ .
Substitusi ke $p + q = 3$ : $q = 0$ .

Jawaban: sisa $= 3 x$ .

Contoh B. Faktorkan $P (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6$ .

Koefisien: $1$ , $- 1$ , $- 7$ , $1$ , $6$ . Kandidat akar: pembagi 6, yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .
Coba $x = 1$ : $1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$ , sehingga $(x - 1)$ faktor.
Horner dengan $k = 1$ : $1$ ; $- 1 + 1 = 0$ ; $- 7 + 0 = - 7$ ; $1 + (- 7) = - 6$ ; $6 + (- 6) = 0$ . Hasil bagi: $x^{3} + 0 x^{2} - 7 x - 6$ .
Coba $x = - 1$ pada $x^{3} - 7 x - 6$ : $- 1 + 7 - 6 = 0$ , sehingga $(x + 1)$ faktor.
Horner dengan $k = - 1$ pada koefisien $1$ , $0$ , $- 7$ , $- 6$ : $1$ ; $0 + (- 1) = - 1$ ; $- 7 + 1 = - 6$ ; $- 6 + 6 = 0$ . Hasil bagi: $x^{2} - x - 6$ .
Faktorkan: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ .

Jawaban: $P (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2)$ .

Contoh prioritas rendah. Akar-akar $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ dari $x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$ . Tentukan $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ .

Dari $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = - 1$ , $d = 6$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} = 6$ .
$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} = - 1$ .
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = 36 - 2 (- 1) = 38$ .
Pemeriksaan langsung dengan akar $1$ , $6$ , $- 1$ : $1 + 36 + 1 = 38$ .

Jawaban: $38$ .

Sudah dipelajari

MATLAN-03

Fungsi dan Grafik Fungsi

Inti. Butir resmi: domain, kodomain, daerah hasil (range), dan grafik fungsi polinom (orde paling tinggi 4), rasional, akar, eksponensial (basis bilangan asli), logaritma, mutlak, dan trigonometri. Dilatihkan guru: pergeseran grafik fungsi (pelajari ringan) dan nilai fungsi sepotong-sepotong.

Grafik y = 2ˣ dan y = log₂ x saling mencerminkan terhadap garis y = x, sehingga koordinat tiap titik tertukar.

Grafik (2x + 1)/(x − 3) mendekati garis x = 3 dan y = 2 tanpa menyentuhnya; y = 2 berasal dari 2x + 1 = 2(x − 3) + 7.

Fungsi y = 12,3 + 2 cos(πt/6): garis tengah y = a, amplitudo |b|, periode 2π/k; titik y = 12,3 terjadi di t = 3, 9, 15, ...

Rumus / kaidah. Domain, kodomain, dan range.

Daerah asal (domain) = himpunan masukan yang membuat fungsi terdefinisi. Kodomain = himpunan tempat hasil boleh berada.
Daerah hasil (range) = nilai yang benar-benar dicapai. Range termasuk dalam kodomain; soal sering memberi kodomain yang lebih besar daripada range.
Syarat domain: penyebut $\neq = 0$ ; bilangan di bawah akar kuadrat $\geq 0$ ; numerus logaritma $> 0$ dengan basis $> 0$ dan $\neq = 1$ . Bila ada beberapa syarat, ambil irisannya.
Titik potong dengan sumbu $y$ : $(0, f (0))$ . Titik potong dengan sumbu $x$ : selesaikan $f (x) = 0$ .

Rumus / kaidah. Grafik polinomial.

Grafik $y = P (x)$ mulus dan tidak terputus; pada soal derajat $P$ paling tinggi 4.
Memotong sumbu $x$ di akar-akar $P$ , memotong sumbu $y$ di $(0, a_{0})$ .
Akar berkelipatan ganjil: grafik memotong sumbu $x$ . Berkelipatan genap, misalnya $(x - r)^{2}$ : grafik menyinggung sumbu $x$ .
Untuk $∣ x ∣$ besar, bentuk mengikuti suku berpangkat tertinggi.
Koefisien utama positif: derajat genap, kedua ujung naik; derajat ganjil, ujung kiri turun dan ujung kanan naik.
Koefisien utama negatif: bentuk grafik terbalik.

Rumus / kaidah. Grafik fungsi rasional.

$f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ : asimtot tegak di $x$ yang membuat $Q (x) = 0$ dan $P (x) \neq = 0$ . Faktor yang tercoret menghasilkan lubang (titik hilang), bukan asimtot tegak.
Derajat $P <$ derajat $Q$ : asimtot datar $y = 0$ .
Derajat sama: asimtot datar $y = \frac{koefisien tertinggi P}{koefisien tertinggi Q}$ .
Derajat $P >$ derajat $Q$ : tidak ada asimtot datar.
Derajat $P$ tepat satu lebih besar dari derajat $Q$ : asimtot miring $y =$ hasil bagi $P$ oleh $Q$ (tanpa sisa).
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ dengan $c \neq = 0$ dan $a d - b c \neq = 0$ (bila $a d = b c$ , $f$ konstan): asimtot tegak $x = - \frac{d}{c}$ dan asimtot datar $y = \frac{a}{c}$ .
Domain $x \neq = - \frac{d}{c}$ dan range $y \neq = \frac{a}{c}$ . Kedua garis asimtot tidak pernah disentuh grafik.

Rumus / kaidah. Fungsi akar dan nilai mutlak.

Fungsi akar $f (x) = g (x)$ : domain $g (x) \geq 0$ , dan nilainya selalu $\geq 0$ .
Range: hitung dulu nilai $g (x)$ pada domain, lalu ambil akarnya.
Contoh: $4 - x^{2}$ berdomain $[- 2, 2]$ dan berrange $[0, 2]$ ; $x^{2} + 1$ berrange $[1, \infty)$ .
Range $y \geq 0$ hanya bila $g$ mencapai semua nilai $\geq 0$ , misalnya $g$ linear.
$f (x) = p + a x + b$ dengan $a > 0$ : domain $x \geq - \frac{b}{a}$ , range $y \geq p$ ; grafik berawal di titik ujung domain.
$y = ∣ x - p ∣ + q$ : bentuk V, titik sudut $(p, q)$ , minimum $q$ di $x = p$ , range $y \geq q$ .
$y = - ∣ x - p ∣ + q$ : titik sudut menjadi puncak, $q$ maksimum, range $y \leq q$ .
$y = ∣ f (x)∣$ : cerminkan bagian grafik $f$ yang di bawah sumbu $x$ ke atas.
Persamaan dan pertidaksamaan mutlak, untuk $a > 0$ : $∣ f (x)∣ = a$ setara dengan $f (x) = a$ atau $f (x) = - a$ .
$∣ f (x)∣ < a$ setara dengan $- a < f (x) < a$ . $∣ f (x)∣ > a$ setara dengan $f (x) < - a$ atau $f (x) > a$ .
Untuk $a < 0$ : $∣ f (x)∣ < a$ tidak punya penyelesaian; $∣ f (x)∣ > a$ benar di seluruh domain $f$ .
$∣ f (x)∣ = ∣ g (x)∣$ setara dengan $f (x)^{2} = g (x)^{2}$ .

Rumus / kaidah. Eksponensial dan logaritma.

Fungsi eksponensial $f (x) = a^{x}$ . Pada butir resmi basis $a$ adalah bilangan asli ( $a \geq 2$ ), sehingga grafik naik, range $y > 0$ , asimtot datar $y = 0$ , melalui $(0, 1)$ .
Secara umum $a > 0$ dan $a \neq = 1$ : naik bila $a > 1$ , turun bila $0 < a < 1$ .
$y = k \cdot a^{x - h} + c$ mempunyai asimtot datar $y = c$ . Bila $k > 0$ range $y > c$ ; bila $k < 0$ range $y < c$ .
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a^{0} = 1$ (untuk $a \neq = 0$ ), dan $a^{m / n} = n a^{m}$ .
Penulisan: $lo g_{a} x$ dibaca logaritma $x$ berbasis $a$ ; di buku Indonesia juga $^{a} lo g x$ . Contoh: $lo g_{2} 8 = 3$ .
Fungsi logaritma $f (x) = lo g_{a} x$ dengan $a > 0$ , $a \neq = 1$ , dan $x > 0$ : asimtot tegak $x = 0$ , melalui $(1, 0)$ .
$y = lo g_{a} (x - h) + c$ : domain $x > h$ , asimtot tegak $x = h$ .
Fungsi logaritma adalah invers dari $a^{x}$ : grafiknya cermin grafik $a^{x}$ terhadap garis $y = x$ .
Sifat logaritma berlaku untuk $x > 0$ , $y > 0$ , basis $a > 0$ , $a \neq = 1$ (dan $p > 0$ , $p \neq = 1$ pada perubahan basis).
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ dan $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ dan perubahan basis $lo g_{a} x = \frac{lo g _{p} x}{lo g _{p} a}$
$lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} 1 = 0$ , $a^{l o g_{a} x} = x$ , $lo g_{a^{m}} x^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} x$ , dan $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ .

Rumus / kaidah. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma.

Persamaan eksponen: bila $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ , maka $f (x) = g (x)$ , dengan $a > 0$ dan $a \neq = 1$ .
Pertidaksamaan eksponen: tanda tetap bila $a > 1$ , tanda berbalik bila $0 < a < 1$ .
Persamaan eksponen bentuk kuadrat: $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ . Misalkan $p = 2^{x} > 0$ .
Maka $p^{2} - 5 p + 4 = 0$ , sehingga $p = 1$ atau $p = 4$ , jadi $x = 0$ atau $x = 2$ .
Persamaan logaritma: bila $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ , maka $f (x) = g (x)$ . Syarat: $f (x) > 0$ , $g (x) > 0$ , basis $a > 0$ , $a \neq = 1$ .
Pertidaksamaan logaritma: tanda tetap bila $a > 1$ , berbalik bila $0 < a < 1$ ; syarat numerus tetap berlaku.

Rumus / kaidah. Model eksponensial.

Model: $K (t) = K_{0} b^{t / p}$ . $K_{0}$ = nilai awal ( $t = 0$ ). Tiap $p$ satuan waktu, nilai dikali $b$ .
Mencari $t$ untuk $K (t)$ tertentu: isolasi bagian berpangkat, lalu bandingkan nilainya dengan pangkat bulat dari basis.
Pada soal benar/salah, hitung tiap pernyataan sendiri-sendiri dengan memasukkan nilai $t$ yang disebut.

Rumus / kaidah. Trigonometri dan model periodik.

Bentuk umum: $y = a + b sin (k (x - c))$ atau $y = a + b cos (k (x - c))$ .
Amplitudo $∣ b ∣$ ; periode $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ (dalam derajat: $\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ k ∣}$ ); garis tengah $y = a$ .
Grafik bergeser $c$ ke kanan dan $a$ ke atas (nilai negatif: ke kiri atau ke bawah).
Maksimum $a + ∣ b ∣$ ; minimum $a - ∣ b ∣$ . Domain: semua real. Range: $[a - ∣ b ∣, a + ∣ b ∣]$ .
Dari grafik: $a = \frac{maks + min}{2}$ dan $∣ b ∣ = \frac{maks - min}{2}$ .
Bila $b < 0$ , grafik terbalik terhadap garis tengah.
$y = a + b cos (k t)$ dengan $b > 0$ : grafik dimulai dari puncak di $t = 0$ . Pada sinus: dimulai dari garis tengah.
Jarak dari puncak ke lembah berikutnya sama dengan setengah periode.
$sin$ dan $cos$ berperiode $2 π$ dengan range $[- 1, 1]$ ; $tan$ berperiode $π$ dengan asimtot tegak di $x = \frac{π}{2} + nπ$ .

Rumus / kaidah. Pergeseran grafik (dilatihkan guru, pelajari ringan) dan fungsi sepotong-sepotong.

Transformasi grafik $y = f (x)$ : ke kanan $h$ satuan menjadi $y = f (x - h)$ ; ke atas $k$ satuan menjadi $y = f (x) + k$ .
Pencerminan terhadap sumbu $x$ menjadi $y = - f (x)$ ; terhadap sumbu $y$ menjadi $y = f (- x)$ .
Peregangan vertikal faktor $k$ menjadi $y = k f (x)$ ; peregangan horizontal faktor $k$ menjadi $y = f (\frac{x}{k})$ .
Asimtot ikut bergeser: $y = a^{x - h} + k$ mempunyai asimtot datar $y = k$ .
Fungsi sepotong-sepotong: tiap rumus cabang hanya berlaku pada selangnya. Untuk $f (c)$ , cari selang yang memuat $c$ lalu pakai rumus cabang itu; perhatikan ujung terbuka ( $<$ , $>$ ) atau tertutup ( $\leq$ , $\geq$ ).

Jebakan.

Tidak memeriksa syarat numerus dan basis pada logaritma. Akar yang membuat numerus nol atau negatif harus dibuang.
Numerus logaritma harus $> 0$ (bukan $\geq 0$ ), sedangkan bilangan di bawah akar boleh $= 0$ .
$lo g_{a} (x + y)$ tidak sama dengan $lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ , bukan $x$ . Contoh: $x = - 2$ memberi $4 = 2$ .
Pertidaksamaan $(x - 3) (x + 1) > 0$ berlaku di luar akar ( $x < - 1$ atau $x > 3$ ), bukan di antara akar.
Tidak membalik tanda pertidaksamaan ketika basis di antara 0 dan 1. Contoh: $2^{- x} > 4$ setara dengan $x < - 2$ , bukan $x > - 2$ .
Mengira range eksponensial adalah semua bilangan real. Range $a^{x}$ hanya $y > 0$ .
Menyamakan asimtot datar fungsi rasional dengan $y = 0$ padahal derajat pembilang dan penyebut sama.
Contoh: $\frac{2 x + 1}{x - 3}$ mempunyai asimtot datar $y = 2$ , karena $2 x + 1 = 2 (x - 3) + 7$ .
Mengambil periode fungsi trigonometri sama dengan $k$ . Periode adalah $\frac{2 π}{k}$ .
Jadi $cos \frac{π t}{6}$ berperiode 12 dan $sin 2 x$ berperiode $π$ . Amplitudo selalu positif, yaitu $∣ b ∣$ .
Mencampur derajat dan radian: periode $\frac{2 π}{k}$ untuk radian dan $\frac{36 0 ^{\circ}}{k}$ untuk derajat.
Pada model eksponensial, menganggap $K (t) = 4 \cdot 2^{t /4}$ menjadi 4 kali setiap 4 tahun. Yang benar: menjadi 2 kali setiap 4 tahun.

Contoh singkat. Tentukan penyelesaian $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 2) = 2$ .

Syarat numerus: $x - 1 > 0$ dan $x + 2 > 0$ , sehingga $x > 1$ .
Gabungkan: $lo g_{2} ((x - 1) (x + 2)) = 2$ , sehingga $(x - 1) (x + 2) = 2^{2} = 4$ .
Jabarkan: $x^{2} + x - 2 = 4$ , sehingga $x^{2} + x - 6 = 0$ , yaitu $(x + 3) (x - 2) = 0$ .
Akar: $x = - 3$ atau $x = 2$ . Hanya $x = 2$ yang memenuhi syarat $x > 1$ .
Pemeriksaan: $lo g_{2} 1 + lo g_{2} 4 = 0 + 2 = 2$ .

Jawaban: $x = 2$ .

Contoh lanjutan. Model periodik, model eksponensial benar/salah, dan domain serta range logaritma.

Contoh A. Kedalaman air $y$ pada waktu $t$ berbentuk $y = a + b cos k t$ dengan $b > 0$ . Kedalaman maksimum $14, 3$ di $t = 0$ dan kedalaman minimum $10, 3$ di $t = 6$ . Tentukan model dan waktu ketiga kedalamannya $12, 3$ .

Garis tengah: $a = \frac{14 , 3 + 10 , 3}{2} = 12, 3$ .
Amplitudo: $b = \frac{14 , 3 - 10 , 3}{2} = 2$ .
Dari puncak ( $t = 0$ ) ke lembah ( $t = 6$ ) adalah setengah periode, jadi periode $= 12$ .
$k = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ , sehingga model $y = 12, 3 + 2 cos \frac{π t}{6}$ .
Kedalaman $12, 3$ : $2 cos \frac{π t}{6} = 0$ , sehingga $cos \frac{π t}{6} = 0$ .
$\frac{π t}{6} = \frac{π}{2} + nπ$ , sehingga $t = 3 + 6 n$ , yaitu $3$ , $9$ , $15$ , dan seterusnya.
Waktu ketiga adalah $t = 15$ .

Jawaban: $y = 12, 3 + 2 cos \frac{π t}{6}$ dan waktu ketiga $t = 15$ .

Contoh B. Populasi $K (t) = 4 \cdot 2^{t /4}$ ribu jiwa, $t$ dalam tahun. Tentukan benar atau salah: (1) populasi awal 4 ribu; (2) populasi menjadi 2 kali setiap 4 tahun; (3) $K (20) = 128$ ribu; (4) populasi mencapai 1 juta sebelum $t = 20$ ; (5) populasi mencapai 1 juta sebelum $t = 32$ .

Pernyataan (1): $K (0) = 4 \cdot 2^{0} = 4$ . Benar.
Pernyataan (2): $K (t + 4) = 4 \cdot 2^{(t + 4) /4} = 4 \cdot 2^{t /4} \cdot 2 = 2 K (t)$ . Benar.
Pernyataan (3): $K (20) = 4 \cdot 2^{5} = 4 \cdot 32 = 128$ . Benar.
Pernyataan (4): 1 juta $= 1000$ ribu. Karena $K$ naik dan $K (20) = 128 < 1000$ , populasi belum mencapai 1 juta pada $t = 20$ . Salah.
Pernyataan (5): $K (32) = 4 \cdot 2^{8} = 4 \cdot 256 = 1024 > 1000$ . Benar.
Waktu tepat: $4 \cdot 2^{t /4} = 1000$ memberi $2^{t /4} = 250$ . Karena $2^{7} = 128 < 250 < 256 = 2^{8}$ , maka $7 < \frac{t}{4} < 8$ , yaitu $28 < t < 32$ ; nilainya $t = 4 lo g_{2} 250 \approx 31, 9$ .

Jawaban: (1), (2), (3), dan (5) benar; (4) salah.

Contoh C. Tentukan domain, range, dan asimtot tegak dari $f (x) = lo g_{3} (x^{2} - 2 x - 3)$ .

Syarat numerus: $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ .
Faktorkan: $(x - 3) (x + 1) > 0$ , sehingga $x < - 1$ atau $x > 3$ .
Pada domain itu, $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$ mengambil semua nilai positif: nilainya mendekati 0 di dekat $x = - 1$ dan $x = 3$ , dan membesar tanpa batas untuk $∣ x ∣$ besar.
$lo g_{3}$ dari bilangan positif apa pun menghasilkan semua bilangan real, sehingga range adalah semua bilangan real.
Numerus menuju 0 di $x = - 1$ dan $x = 3$ , tempat $f \to - \infty$ , sehingga garis $x = - 1$ dan $x = 3$ adalah asimtot tegak.

Jawaban: domain $x < - 1$ atau $x > 3$ ; range semua bilangan real; asimtot tegak $x = - 1$ dan $x = 3$ .

Sudah dipelajari

MATLAN-04

Vektor

Inti. Butir resmi: vektor pada bidang dan ruang (komponen paling banyak tiga), panjang vektor, dan operasi vektor (jumlah, selisih, kelipatan, $A B = B - A$ ). Dilatihkan guru (tidak disebut eksplisit di tabel resmi): perkalian titik, sudut antar vektor, proyeksi, pembagian ruas garis, dan vektor segaris.

Skema pada bidang yang direntang vektor a = (1, 2, 2) dan vektor b = (4, 0, 3): bayangan tegak lurus a pada b memberi proyeksi dengan panjang 2.

Rumus / kaidah. Dasar vektor dan operasi.

Vektor $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$ , dengan $i$ , $j$ , $k$ vektor satuan sumbu. Di bidang hanya dua komponen.
Vektor dari titik $A$ ke titik $B$ : $A B = b - a$ (ujung dikurangi pangkal), dengan $a$ , $b$ vektor posisi $A$ , $B$ .
Jumlah dan selisih dihitung per komponen: $a \pm b = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3})$ . Kelipatan: $k a = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$ .
Dua vektor sama bila komponen seletak sama. Dari kesamaan ini disusun persamaan untuk komponen yang belum diketahui.
Kombinasi linear: $c = m a + n b$ menghasilkan satu persamaan per komponen untuk $m$ dan $n$ .
Panjang: $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ . Di $R^{2}$ suku ketiga dihilangkan. Jarak $A$ ke $B$ sama dengan $∣ A B ∣$ .
Vektor satuan searah $a$ : $\frac{a}{∣ a ∣}$ .
Bila $∣ a ∣ = k$ diketahui dan satu komponen belum diketahui: kuadratkan kedua ruas untuk mendapat persamaan kuadrat, lalu periksa semua akar terhadap syarat lain pada soal.
Sejajar: $a = k b$ untuk suatu skalar $k$ , yaitu komponen-komponennya sebanding. Searah bila $k > 0$ ; berlawanan arah bila $k < 0$ .
Jajargenjang $A BC D$ : $A B = D C$ dan $A D = BC$ .

Rumus / kaidah. Perkalian titik, sudut, dan segaris (dilatihkan guru).

Perkalian titik: $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ . Hasilnya skalar.
Hubungan dengan sudut $θ$ antara $a$ dan $b$ : $a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$ .
Jadi $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$ , dengan $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ .
Tegak lurus: $a \cdot b = 0$ . Bila $a \cdot b > 0$ sudutnya lancip; bila $a \cdot b < 0$ sudutnya tumpul.
Kolinear (segaris): titik $A$ , $B$ , $C$ segaris bila $A B = k A C$ untuk suatu skalar $k$ .

Rumus / kaidah. Proyeksi dan panjang jumlah (dilatihkan guru).

Proyeksi skalar $a$ pada $b$ : $\frac{a \cdot b}{∣ b ∣}$ . Nilainya bisa negatif.
Proyeksi vektor $a$ pada $b$ : $\frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} b$ .
Kuadrat panjang jumlah: $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ . Untuk selisih $a - b$ , tanda suku tengah menjadi negatif.
Dengan sudut $θ$ di antara keduanya, suku tengah sama dengan $2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$ .
Resultan tiga vektor atau lebih adalah jumlah semua vektornya.
Pernyataan yang sering diuji:
- SALAH: $a \cdot b = 0$ berarti $a = 0$ atau $b = 0$ (bisa saja $a ⊥ b$ ).
- BENAR: $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ jika dan hanya jika $a ⊥ b$ .
- Alasannya: $∣ a + b ∣^{2} - ∣ a - b ∣^{2} = 4 a \cdot b$ .
- BENAR: $(a + b) \cdot (a - b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}$ .

Rumus / kaidah. Pembagian ruas garis dan luas segitiga (dilatihkan guru).

Titik $P$ pada ruas $A B$ dengan $A P : PB = m : n$ terletak di antara $A$ dan $B$ .
$p = \frac{n a + m b}{m + n}$ , dengan $a$ dan $b$ vektor posisi $A$ dan $B$ .
Cek: bila $m = n$ , $P$ titik tengah. Bobot $m$ milik $B$ : makin besar $m$ , $P$ makin dekat ke $B$ .
Luas segitiga dengan dua sisi dari satu titik sudut berupa vektor $a$ dan $b$ : $L = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} = \frac{1}{2} ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ$ .

Jebakan.

Membalik arah $A B$ menjadi $a - b$ . Selalu hitung ujung dikurangi pangkal.
Proyeksi skalar dibagi $∣ b ∣$ ; hanya proyeksi vektor yang dibagi $∣ b ∣^{2}$ . Pembaginya memakai vektor yang menjadi arah proyeksi ( $b$ ), bukan $∣ a ∣$ .
Cek: panjang proyeksi vektor sama dengan harga mutlak proyeksi skalar.
Bobot pembagian: pada $A P : PB = m : n$ , $a$ dikali $n$ dan $b$ dikali $m$ . Cek cepat: $m = n$ memberi titik tengah.
Mengira resultan dua vektor berpanjang $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Itu hanya berlaku bila keduanya searah. Secara umum $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .
Perkalian titik adalah skalar, bukan vektor. Nilai $cos θ$ negatif berarti sudut tumpul; jangan diberi nilai mutlak.

Contoh singkat. Diketahui $u = (2, - 1, 3)$ , $v = (2, p, - 1)$ , dan $w = u - v = (0, q, 4)$ . Pilih semua pasangan $(p, q)$ yang mungkin: $(0, - 1)$ , $(1, - 2)$ , $(- 3, 2)$ , $(1, 1)$ , $(2, - 2)$ .

Kurangkan komponen seletak: $w = u - v = (2 - 2, - 1 - p, 3 - (- 1)) = (0, - 1 - p, 4)$ .
Komponen pertama ( $0$ ) dan ketiga ( $4$ ) sudah sama dengan $(0, q, 4)$ . Komponen kedua: $q = - 1 - p$ , yaitu $p + q = - 1$ .
$(0, - 1)$ : $0 + (- 1) = - 1$ . Benar.
$(1, - 2)$ : $1 + (- 2) = - 1$ . Benar.
$(- 3, 2)$ : $- 3 + 2 = - 1$ . Benar.
$(1, 1)$ : $1 + 1 = 2 \neq = - 1$ . Salah.
$(2, - 2)$ : $2 + (- 2) = 0 \neq = - 1$ . Salah.

Jawaban: $(0, - 1)$ , $(1, - 2)$ , dan $(- 3, 2)$ .

Contoh lanjutan. Perkalian titik dan proyeksi, pembagian ruas garis, serta sudut dan luas segitiga (semua dilatihkan guru).

Contoh A. Diketahui $a = (1, 2, 2)$ dan $b = (4, 0, 3)$ . Tentukan cosinus sudut antara $a$ dan $b$ serta proyeksi vektor $a$ pada $b$ .

$a \cdot b = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 10$ .
$∣ a ∣ = 1 + 4 + 4 = 3$ dan $∣ b ∣ = 16 + 0 + 9 = 5$ .
$cos θ = \frac{10}{3 \cdot 5} = \frac{2}{3}$ .
Proyeksi vektor $a$ pada $b$ : $\frac{10}{25} (4, 0, 3) = (\frac{8}{5}, 0, \frac{6}{5})$ .
Pemeriksaan panjang: $\frac{64}{25} + \frac{36}{25} = 4 = 2$ , sama dengan proyeksi skalar $\frac{10}{5} = 2$ .

Jawaban: $cos θ = \frac{2}{3}$ dan proyeksi vektor $= (\frac{8}{5}, 0, \frac{6}{5})$ .

Contoh B. Titik $P$ pada ruas $A B$ dengan $A P : PB = 1 : 2$ , $A (2, - 1, 5)$ , dan $B (8, 5, - 1)$ . Tentukan koordinat $P$ .

Rumus dengan $m = 1$ dan $n = 2$ : $p = \frac{n a + m b}{m + n} = \frac{2 a + b}{3}$ .
$2 a = (4, - 2, 10)$ .
$2 a + b = (4 + 8, - 2 + 5, 10 - 1) = (12, 3, 9)$ .
Bagi 3: $p = (4, 1, 3)$ .
Pemeriksaan: $A P = (2, 2, - 2)$ dan $PB = (4, 4, - 4)$ , sehingga $PB = 2 A P$ , cocok dengan $A P : PB = 1 : 2$ .

Jawaban: $P (4, 1, 3)$ .

Contoh C. Titik $A (1, 2, 3)$ , $B (2, 3, 3)$ , dan $C (2, 2, 4)$ . Tentukan besar $∠ B A C$ dan luas segitiga $A BC$ .

$A B = B - A = (1, 1, 0)$ dan $A C = C - A = (1, 0, 1)$ .
$A B \cdot A C = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$ .
$∣ A B ∣ = 1 + 1 + 0 = 2$ dan $∣ A C ∣ = 1 + 0 + 1 = 2$ .
$cos ∠ B A C = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , sehingga $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ .
Luas $= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .
Pemeriksaan dengan rumus tanpa sudut: $\frac{1}{2} 2 \cdot 2 - 1^{2} = \frac{1}{2} 3$ .

Jawaban: $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ dan luas $= \frac{3}{2}$ satuan luas.

Sudah dipelajari

MATLAN-05

Lingkaran

Inti. Butir resmi: persamaan lingkaran, garis singgung lingkaran, serta luas dan keliling lingkaran atau bagian daerah lingkaran (juring dan tembereng). Dilatihkan guru: kedudukan dua lingkaran (pelajari ringan).

Lingkaran berpusat (2, −3) dengan r = 5 dan garis singgung 3x + 4y = 19 di (5, 1), tegak lurus jari-jari (selisih 3 dan 4, jadi panjang 5).

Rumus / kaidah. Persamaan lingkaran.

Pusat $O (0, 0)$ dan jari-jari $r$ : $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .
Pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
Lingkaran berpusat $(a, b)$ menyinggung sumbu $x$ : $r = ∣ b ∣$ ; menyinggung sumbu $y$ : $r = ∣ a ∣$ .
Lingkaran berpusat $P$ yang menyinggung suatu garis: $r$ sama dengan jarak $P$ ke garis itu.
Bentuk umum $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ mempunyai pusat $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ .
Asal-usul: melengkapkan kuadrat pada $x$ dan $y$ .
Jari-jari bentuk umum: $r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$ . Lingkaran ada bila nilai di dalam akar positif.

Rumus / kaidah. Kedudukan titik dan garis.

Kedudukan titik $(x_{1}, y_{1})$ : hitung $K = (x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} - r^{2}$ .
$K < 0$ berarti di dalam, $K = 0$ pada lingkaran, $K > 0$ di luar.
Panjang garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran $= K$ .
Contoh: titik $(6, 5)$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ : $K = 4^{2} + 8^{2} - 25 = 55$ , panjang garis singgung $55$ .
Jarak titik $(x_{0}, y_{0})$ ke garis $p x + q y + s = 0$ : $d = \frac{∣ p x _{0} + q y _{0} + s ∣}{p ^{2} + q ^{2}}$ .
Kedudukan garis: bandingkan jarak $d$ dari pusat ke garis dengan $r$ .
$d < r$ : memotong di dua titik. $d = r$ : menyinggung. $d > r$ : tidak memotong.
Cara lain: substitusikan garis ke lingkaran, periksa diskriminan ( $D > 0$ , $D = 0$ , $D < 0$ ).

Rumus / kaidah. Garis singgung.

Di titik $(x_{1}, y_{1})$ pada lingkaran berpusat $O$ : $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ .
Di titik $(x_{1}, y_{1})$ pada lingkaran berpusat $(a, b)$ : $(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$ .
Di titik $(x_{1}, y_{1})$ pada bentuk umum: $x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x + x_{1}) + \frac{B}{2} (y + y_{1}) + C = 0$ .
Garis singgung tegak lurus jari-jari di titik singgung.
Bergradien $m$ pada lingkaran berpusat $O$ : $y = m x \pm r 1 + m^{2}$ .
Bergradien $m$ pada lingkaran berpusat $(a, b)$ : $y - b = m (x - a) \pm r 1 + m^{2}$ . Hasilnya dua garis yang sejajar.
Dari titik di luar lingkaran: tulis $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , syaratkan jarak pusat ke garis sama dengan $r$ , sehingga diperoleh dua nilai $m$ . Periksa juga garis vertikal $x = x_{1}$ .

Rumus / kaidah. Luas dan keliling.

Keliling $= 2 π r$ ; luas $= π r^{2}$ .
Sudut pusat $θ$ (derajat): panjang busur $= \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \cdot 2 π r$ ; luas juring $= \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \cdot π r^{2}$ .
Dalam radian: panjang busur $= r θ$ ; luas juring $= \frac{1}{2} r^{2} θ$ .
Luas tembereng = luas juring $-$ luas segitiga $= \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$ , dengan $θ$ dalam radian.
Contoh: $r = 5$ dan $θ = 9 0^{\circ}$ memberi busur $\frac{5 π}{2}$ dan juring $\frac{25 π}{4}$ .
Luas tembereng pada contoh itu: $25 (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$ .

Rumus / kaidah. Dua lingkaran (dilatihkan guru, pelajari ringan).

Jarak pusat $d$ , jari-jari $r_{1}$ dan $r_{2}$ . Bersinggungan luar bila $d = r_{1} + r_{2}$ .
Bersinggungan dalam bila $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ .
Berpotongan di dua titik bila $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ .
Terpisah bila $d > r_{1} + r_{2}$ .
Satu di dalam yang lain tanpa menyentuh bila $d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ (sepusat bila $d = 0$ ).
Garis yang melalui kedua titik potong (atau titik singgung) didapat dari selisih kedua persamaan lingkaran, dengan syarat koefisien $x^{2}$ dan $y^{2}$ pada kedua persamaan sudah sama.

Jebakan.

Salah tanda pusat pada bentuk umum. Pada $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ pusatnya $(2, - 3)$ , bukan $(- 2, 3)$ .
Memakai $C$ sebagai $r^{2}$ pada bentuk umum. Jari-jari harus dihitung dengan $\frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$ .
Jadi $C$ negatif menambah nilai di dalam akar.
Memakai rumus garis singgung di titik untuk titik yang tidak terletak pada lingkaran. Periksa dulu dengan substitusi bahwa $K = 0$ . Untuk titik di luar lingkaran, rumus itu menghasilkan garis kutub, bukan garis singgung.
Pada garis singgung bergradien $m$ , lupa faktor $1 + m^{2}$ atau lupa bahwa hasilnya dua garis (tanda $\pm$ ).
Menyamakan $r$ dengan $r^{2}$ : persamaan lingkaran memakai $r^{2}$ , sedangkan jarak titik ke garis menghasilkan $r$ .
Memakai $\frac{1}{2} r^{2} θ$ dengan $θ$ dalam derajat. Rumus ini hanya berlaku untuk radian.

Contoh singkat. Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ . Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan garis singgung di titik $(5, 1)$ .

$A = - 4$ dan $B = 6$ , sehingga pusat $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (2, - 3)$ .
$r^{2} = 4 + 9 + 12 = 25$ , sehingga $r = 5$ .
Titik $(5, 1)$ pada lingkaran: $25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0$ .
Garis singgung: $(5 - 2) (x - 2) + (1 + 3) (y + 3) = 25$ , yaitu $3 x - 6 + 4 y + 12 = 25$ , sehingga $3 x + 4 y = 19$ .
Pemeriksaan: jarak pusat ke garis $3 x + 4 y - 19 = 0$ adalah $\frac{∣ 6 - 12 - 19 ∣}{5} = 5$ , sama dengan $r$ .

Jawaban: pusat $(2, - 3)$ , $r = 5$ , garis singgung $3 x + 4 y = 19$ .

Contoh lanjutan. Lingkaran yang menyinggung garis, garis singgung dari titik luar, juring dan tembereng, serta dua lingkaran.

Contoh A. Lingkaran berpusat di $P (2, - 1)$ dan menyinggung garis $3 x - 4 y - 35 = 0$ . Tentukan persamaan lingkaran dan titik singgungnya.

Jari-jari sama dengan jarak $P$ ke garis: $r = \frac{∣ 3 \cdot 2 - 4 \cdot ( - 1 ) - 35 ∣}{9 + 16} = \frac{∣ - 25 ∣}{5} = 5$ .
Persamaan: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ , yaitu $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ .
Titik singgung adalah kaki tegak lurus dari $P$ ke garis. Vektor normal garis: $(3, - 4)$ dengan panjang $5$ .
Nilai $3 x - 4 y - 35$ di $P$ adalah $- 25$ (negatif), sehingga titik singgung dicapai dengan bergerak searah normal $(3, - 4)$ sejauh $r = 5$ .
Titik singgung: $P + 5 \cdot (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5}) = (2 + 3, - 1 - 4) = (5, - 5)$ .
Pemeriksaan: $3 \cdot 5 - 4 \cdot (- 5) - 35 = 15 + 20 - 35 = 0$ , dan $(5 - 2)^{2} + (- 5 + 1)^{2} = 9 + 16 = 25$ .

Jawaban: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ dan titik singgung $(5, - 5)$ .

Contoh B. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ yang melalui titik $(0, 10)$ .

$K = 0^{2} + 1 0^{2} - 25 = 75 > 0$ , sehingga titik di luar lingkaran dan ada dua garis singgung.
Garis vertikal $x = 0$ melalui pusat $(0, 0)$ , sehingga bukan garis singgung. Misalkan garisnya $y = m x + 10$ , yaitu $m x - y + 10 = 0$ .
Jarak pusat $(0, 0)$ ke garis: $\frac{∣ 10 ∣}{m ^{2} + 1}$ .
Syarat menyinggung: $\frac{10}{m ^{2} + 1} = 5$ , sehingga $m^{2} + 1 = 2$ , $m^{2} + 1 = 4$ , dan $m^{2} = 3$ , jadi $m = \pm 3$ .
Garis: $y = 3 x + 10$ dan $y = - 3 x + 10$ .
Pemeriksaan dengan diskriminan: substitusi $y = 3 x + 10$ ke lingkaran memberi $x^{2} + 3 x^{2} + 203 x + 100 = 25$ , yaitu $4 x^{2} + 203 x + 75 = 0$ . Diskriminan $= (203)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 75 = 1200 - 1200 = 0$ , jadi menyinggung.

Jawaban: $y = 3 x + 10$ dan $y = - 3 x + 10$ .

Contoh C. Lingkaran berjari-jari $6$ dengan sudut pusat $6 0^{\circ}$ . Hitung panjang busur, luas juring, dan luas tembereng.

$θ = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ radian.
Panjang busur $= \frac{60}{360} \cdot 2 π \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 12 π = 2 π$ .
Luas juring $= \frac{60}{360} \cdot π \cdot 6^{2} = \frac{1}{6} \cdot 36 π = 6 π$ .
Luas segitiga dengan dua sisi $6$ dan sudut apit $6 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot sin 6 0^{\circ} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 93$ .
Luas tembereng $=$ luas juring $-$ luas segitiga $= 6 π - 93$ .
Pemeriksaan dengan rumus: $\frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ) = 18 (\frac{π}{3} - \frac{3}{2}) = 6 π - 93$ .

Jawaban: busur $2 π$ , juring $6 π$ , tembereng $6 π - 93$ .

Contoh D. Lingkaran $L_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ dan $L_{2} : (x - 5)^{2} + y^{2} = 4$ . Tentukan kedudukannya.

Pusat $L_{1} = (0, 0)$ dengan $r_{1} = 3$ ; pusat $L_{2} = (5, 0)$ dengan $r_{2} = 2$ .
Jarak pusat: $d = (5 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2} = 5$ .
$r_{1} + r_{2} = 3 + 2 = 5$ dan $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 1$ .
$d = r_{1} + r_{2}$ , sehingga bersinggungan luar. Titik singgung di sumbu $x$ pada jarak $3$ dari $(0, 0)$ , yaitu $(3, 0)$ .
Pemeriksaan: $3^{2} + 0^{2} = 9$ dan $(3 - 5)^{2} + 0^{2} = 4$ .

Jawaban: bersinggungan luar di $(3, 0)$ .

Sudah dipelajari

MATLAN-06

Transformasi Geometri

Inti. Butir resmi: translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, komposisinya, dan matriks transformasinya, dengan objek titik, garis, dan bangun datar. Dilatihkan guru: lingkaran sebagai objek dan luas bayangan $= ∣ det M ∣ \times$ luas awal. Prioritas rendah (tambahan, belum tentu keluar): bayangan kurva umum seperti parabola.

Garis 2x − y + 3 = 0 diputar 90° berlawanan arah jarum jam lalu dicerminkan terhadap sumbu x; titik (−3/2, 0) ikut berpindah mengikuti kedua langkah.

Rumus / kaidah. Translasi dan refleksi.

Translasi oleh $(a b)$ : $(x, y) \to (x + a, y + b)$ . Translasi dikerjakan dengan penjumlahan vektor, bukan perkalian matriks.
Refleksi terhadap sumbu $x$ : $(x, y) \to (x, - y)$ , matriks $(10 0 - 1)$ .
Refleksi terhadap sumbu $y$ : $(x, y) \to (- x, y)$ , matriks $(- 1 0 01)$ .
Refleksi terhadap titik asal: $(x, y) \to (- x, - y)$ .
Refleksi terhadap garis $y = x$ : $(x, y) \to (y, x)$ , matriks $(0110)$ .
Refleksi terhadap garis $y = - x$ : $(x, y) \to (- y, - x)$ , matriks $(0 - 1 - 1 0)$ .
Refleksi terhadap garis $x = h$ : $(x, y) \to (2 h - x, y)$ .
Refleksi terhadap garis $y = k$ : $(x, y) \to (x, 2 k - y)$ .
Refleksi terhadap garis $y = m x$ dengan $m = tan α$ : matriks $(cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α)$ .
Untuk $y = x$ ( $α = 4 5^{\circ}$ ) hasilnya $(0110)$ .
Refleksi terhadap garis $y = m x + n$ (tidak melalui $O$ ) dikerjakan dalam tiga langkah.
Geser turun $n$ satuan: translasi $(0 - n)$ . Cerminkan terhadap $y = m x$ , lalu geser naik $n$ satuan.
Khusus $y = x + n$ : $(x, y) \to (y - n, x + n)$ . Khusus $y = - x + n$ : $(x, y) \to (n - y, n - x)$ .

Rumus / kaidah. Rotasi dan dilatasi.

Rotasi pusat $O$ sudut $θ$ (positif berlawanan arah jarum jam):
$(x, y) \to (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$
Matriks rotasi: $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ .
Nilai khusus rotasi pusat $O$ :
- $9 0^{\circ}$ menghasilkan $(- y, x)$ .
- $18 0^{\circ}$ menghasilkan $(- x, - y)$ .
- $- 9 0^{\circ}$ menghasilkan $(y, - x)$ .
Rotasi pusat $(a, b)$ : geser pusat ke $O$ , putar, geser kembali.
$x^{'} - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ$
$y^{'} - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ$
Dilatasi pusat $O$ faktor $k$ : $(x, y) \to (k x, k y)$ , matriks $(k 0 0 k)$ .
Dilatasi pusat $(a, b)$ : $(x, y) \to (k (x - a) + a, k (y - b) + b)$ .
Bentuk dan ukuran tetap pada translasi, refleksi, dan rotasi. Dilatasi mempertahankan bentuk dan mengubah ukuran.

Rumus / kaidah. Komposisi dan matriks transformasi.

Matriks transformasi $M$ bekerja pada titik sebagai $(x^{'} y^{'}) = M (x y)$ .
$T_{1}$ dikerjakan dulu, lalu $T_{2}$ : ditulis $T_{2} \circ T_{1}$ , matriks $M = M_{2} M_{1}$ .
Matriks transformasi pertama berada paling kanan. Dua translasi berurutan: vektornya dijumlahkan.
$T_{2} \circ T_{1} \neq = T_{1} \circ T_{2}$ pada umumnya.
Contoh: rotasi $9 0^{\circ}$ lalu refleksi sumbu $x$ memberi $(x, y) \to (- y, - x)$ ; urutan sebaliknya memberi $(x, y) \to (y, x)$ .

Rumus / kaidah. Bayangan titik, garis, bangun datar, dan lingkaran.

Titik: substitusikan koordinatnya ke rumus transformasi.
Bangun datar bersisi lurus: transformasikan titik-titik sudutnya, lalu hubungkan.
Garis: transformasikan dua titik pada garis itu, atau pakai $M^{- 1}$ (bila $det M \neq = 0$ ): dari $(x^{'} y^{'}) = M (x y)$ didapat $(x y) = M^{- 1} (x^{'} y^{'})$ .
Bila ada translasi $(a b)$ : $(x y) = M^{- 1} ((x^{'} y^{'}) - (a b))$ .
Substitusikan $x$ dan $y$ itu ke persamaan garis awal, lalu ganti $x^{'}$ , $y^{'}$ menjadi $x$ , $y$ .
Lingkaran (dilatihkan guru): pusat ditransformasikan seperti titik. Jari-jari tetap pada translasi, rotasi, dan refleksi; jari-jari dikali $∣ k ∣$ pada dilatasi faktor $k$ .

Rumus / kaidah. Luas bayangan (dilatihkan guru).

Luas bayangan: $L^{'} = ∣ det M ∣ \cdot L$ .
Rotasi dan refleksi: $∣ det M ∣ = 1$ . Dilatasi faktor $k$ : $∣ det M ∣ = k^{2}$ , sehingga luas dikali $k^{2}$ dan keliling dikali $∣ k ∣$ .
Pada komposisi: $L^{'} = ∣ det M_{2} ∣ ∣ det M_{1} ∣ L$ . Translasi tidak mengubah luas.
Rotasi: $det = 1$ . Refleksi: $det = - 1$ . Keduanya mempertahankan luas dan jarak, tetapi refleksi membalik orientasi.

Rumus / kaidah. Bayangan kurva umum (prioritas rendah: tambahan, belum tentu keluar).

Untuk kurva umum seperti parabola, caranya sama dengan bayangan garis: nyatakan $x$ dan $y$ asal dalam $x^{'}$ dan $y^{'}$ , substitusikan ke persamaan kurva awal, lalu ganti $x^{'}$ , $y^{'}$ menjadi $x$ , $y$ .
Translasi $(a b)$ pada kurva: ganti $x$ dengan $x - a$ dan $y$ dengan $y - b$ .
Contoh: $y = x^{2}$ ditranslasi $(23)$ menjadi $y - 3 = (x - 2)^{2}$ ; titik $(1, 1)$ menjadi $(3, 4)$ .

Jebakan.

Urutan perkalian matriks pada komposisi. Rotasi dulu lalu refleksi bermatriks (refleksi)(rotasi), bukan sebaliknya.
Pada bayangan garis, jangan substitusikan $(x^{'}, y^{'})$ hasil $M$ ke persamaan awal.
Yang disubstitusikan ke persamaan awal adalah $x$ dan $y$ yang dinyatakan dalam $x^{'}$ , $y^{'}$ (memakai $M^{- 1}$ ).
Memakai $det M$ tanpa nilai mutlak untuk luas. Hasil luas tidak boleh negatif.
Luas oleh dilatasi dikali $k^{2}$ , bukan $k$ ; keliling dikali $∣ k ∣$ .
Rotasi positif berlawanan arah jarum jam. Refleksi terhadap $y = x$ menukar koordinat, sedangkan $y = - x$ menukar sekaligus mengubah kedua tanda.
Rotasi atau dilatasi dengan pusat bukan $O$ : geser pusat ke $O$ lebih dulu, transformasikan, lalu geser kembali.

Contoh singkat. Garis $2 x - y + 3 = 0$ dirotasikan $9 0^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O$ , kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$ . Tentukan persamaan bayangannya.

Matriks rotasi $9 0^{\circ}$ : $M_{1} = (01 - 1 0)$ . Matriks refleksi sumbu $x$ : $M_{2} = (10 0 - 1)$ .
Komposisi: $M = M_{2} M_{1} = (0 - 1 - 1 0)$ , sehingga $(x, y) \to (- y, - x)$ .
Dengan $x^{'} = - y$ dan $y^{'} = - x$ didapat $x = - y^{'}$ dan $y = - x^{'}$ .
Substitusi ke garis: $2 (- y^{'}) - (- x^{'}) + 3 = 0$ , yaitu $x^{'} - 2 y^{'} + 3 = 0$ .
Pemeriksaan: titik $(0, 3)$ pada garis awal menjadi $(- 3, 0)$ , dan $- 3 - 0 + 3 = 0$ .

Jawaban: $x - 2 y + 3 = 0$ .

Contoh lanjutan. Dilatasi dengan pusat bukan $O$ dan luas bayangan, lingkaran sebagai objek, dan luas oleh matriks.

Contoh A. Segitiga $PQR$ dengan $P (1, 1)$ , $Q (5, 1)$ , dan $R (1, 4)$ didilatasi dengan pusat $(1, 1)$ dan faktor $2$ . Tentukan bayangan titik sudut dan luas bayangan.

Segitiga siku-siku di $P$ dengan alas $PQ = 5 - 1 = 4$ dan tinggi $PR = 4 - 1 = 3$ , sehingga luas $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .
Rumus dilatasi pusat $(1, 1)$ faktor $2$ : $(x, y) \to (2 (x - 1) + 1, 2 (y - 1) + 1)$ .
$P^{'} = (2 (1 - 1) + 1, 2 (1 - 1) + 1) = (1, 1)$ .
$Q^{'} = (2 (5 - 1) + 1, 2 (1 - 1) + 1) = (9, 1)$ .
$R^{'} = (2 (1 - 1) + 1, 2 (4 - 1) + 1) = (1, 7)$ .
Luas $P^{'} Q^{'} R^{'}$ : alas $9 - 1 = 8$ , tinggi $7 - 1 = 6$ , luas $= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ .
Pemeriksaan: $k^{2} \cdot 6 = 2^{2} \cdot 6 = 24$ .

Jawaban: $P^{'} (1, 1)$ , $Q^{'} (9, 1)$ , $R^{'} (1, 7)$ , dan luas bayangan $24$ .

Contoh B. Lingkaran $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ ditranslasi oleh $(34)$ , lalu didilatasi dengan pusat $O$ dan faktor $2$ . Tentukan persamaan bayangannya.

Lingkaran awal: pusat $(2, - 1)$ dan $r = 3$ .
Translasi: pusat menjadi $(2 + 3, - 1 + 4) = (5, 3)$ , $r$ tetap $3$ .
Dilatasi pusat $O$ faktor $2$ : pusat menjadi $(2 \cdot 5, 2 \cdot 3) = (10, 6)$ dan $r = 2 \cdot 3 = 6$ .
Persamaan bayangan: $(x - 10)^{2} + (y - 6)^{2} = 36$ .
Pemeriksaan: titik $(5, - 1)$ pada lingkaran awal ( $(5 - 2)^{2} + 0 = 9$ ) menjadi $(8, 3)$ setelah translasi dan $(16, 6)$ setelah dilatasi; $(16 - 10)^{2} + (6 - 6)^{2} = 36$ .

Jawaban: $(x - 10)^{2} + (y - 6)^{2} = 36$ .

Contoh C. Persegi panjang dengan luas $12$ ditransformasikan oleh $M = (23 - 1 4)$ . Tentukan luas bayangannya.

$det M = 2 \cdot 4 - (- 1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11$ .
$L^{'} = ∣ det M ∣ \cdot L = 11 \cdot 12 = 132$ .

Jawaban: luas bayangan $132$ .

Contoh prioritas rendah. Parabola $y = x^{2} - 2 x$ ditranslasi oleh $(12)$ , lalu didilatasi dengan pusat $O$ dan faktor $3$ . Tentukan persamaan bayangannya.

Translasi: $x_{1} = x + 1$ dan $y_{1} = y + 2$ .
Dilatasi: $x^{'} = 3 x_{1}$ dan $y^{'} = 3 y_{1}$ .
Nyatakan titik asal: $x = \frac{x ^{'}}{3} - 1$ dan $y = \frac{y ^{'}}{3} - 2$ .
Substitusi ke $y = x^{2} - 2 x$ : $\frac{y ^{'}}{3} - 2 = (\frac{x ^{'}}{3} - 1)^{2} - 2 (\frac{x ^{'}}{3} - 1)$ .
Ruas kanan: $\frac{x ^{' 2}}{9} - \frac{2 x ^{'}}{3} + 1 - \frac{2 x ^{'}}{3} + 2 = \frac{x ^{' 2}}{9} - \frac{4 x ^{'}}{3} + 3$ .
Maka $\frac{y ^{'}}{3} = \frac{x ^{' 2}}{9} - \frac{4 x ^{'}}{3} + 5$ . Kalikan $9$ : $3 y^{'} = x^{' 2} - 12 x^{'} + 45$ .
Ganti $x^{'}$ , $y^{'}$ menjadi $x$ , $y$ : $y = \frac{x ^{2} - 12 x + 45}{3}$ .
Pemeriksaan: titik $(0, 0)$ pada parabola awal menjadi $(1, 2)$ lalu $(3, 6)$ ; $\frac{3 ^{2} - 12 \cdot 3 + 45}{3} = \frac{18}{3} = 6$ .

Jawaban: $y = \frac{x ^{2} - 12 x + 45}{3}$ .

Sudah dipelajari

MATLAN-07

Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Inti. Butir resmi: limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri, yang dapat diselesaikan tanpa Teorema L'Hôpital, yaitu dengan substitusi, faktorisasi, perkalian sekawan, dan limit trigonometri dasar. Dilatihkan guru (tidak disebut eksplisit di tabel resmi): limit di tak hingga (derajat sama, derajat berbeda, selisih akar) dan limit kiri-kanan untuk fungsi sepotong-sepotong.

Grafik sin x / x tidak terdefinisi di x = 0, tetapi nilainya mendekati 1 dari kiri maupun kanan.

Langkah menyelesaikan limit (1 − cos 4x)/(x·tan 2x) untuk x → 0 dengan identitas 1 − cos ax = 2 sin²(ax/2); nilai fungsi di dekat 0 mendekati 4.

Rumus / kaidah. Dasar limit.

$lim_{x \to a} f (x) = L$ berarti $f (x)$ mendekati $L$ saat $x$ mendekati $a$ ( $x \neq = a$ ). Nilai limit tidak bergantung pada $f (a)$ ; $f (a)$ boleh tidak terdefinisi.
Limit di $a$ ada bila $lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x)$ dan nilainya berhingga.
Langkah pertama: substitusi langsung.
Hasil bilangan tertentu: itulah limitnya.
Hasil $\frac{0}{0}$ : faktorisasi atau kali sekawan, lalu sederhanakan faktor yang sama, kemudian substitusi ulang.
Hasil $\frac{k}{0}$ dengan $k \neq = 0$ : periksa limit kiri dan kanan; bila berbeda, limit tidak ada.
Contoh: $lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ tidak ada, karena limit kiri $- \infty$ dan limit kanan $+ \infty$ .
Limit jumlah, selisih, hasil kali, dan pangkat sama dengan jumlah, selisih, hasil kali, dan pangkat dari limit masing-masing.
Limit hasil bagi berlaku bila limit penyebut tidak nol.
Kali sekawan untuk bentuk akar: $(A - B) (A + B) = A - B$ .
Faktorisasi pangkat: $lim_{x \to a} \frac{x ^{n} - a ^{n}}{x - a} = n a^{n - 1}$ .

Rumus / kaidah. Limit trigonometri.

Dasar (sudut dalam radian): $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ dan $lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = 1$ .
Kebalikannya juga bernilai 1: $lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x} = 1$ dan $lim_{x \to 0} \frac{x}{tan x} = 1$ .
Dengan koefisien: $lim_{x \to 0} \frac{sin a x}{b x} = \frac{a}{b}$ .
Hasil yang sama berlaku untuk $\frac{tan a x}{b x}$ , $\frac{sin a x}{sin b x}$ , $\frac{tan a x}{tan b x}$ , dan $\frac{sin a x}{tan b x}$ .
Bentuk $1 - cos$ : $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos a x}{x ^{2}} = \frac{a ^{2}}{2}$ .
Asal-usul: $1 - cos a x = 2 sin^{2} \frac{a x}{2}$ .
Lanjutan: $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos a x}{1 - cos b x} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ .
Lanjutan: $lim_{x \to 0} \frac{cos a x - cos b x}{x ^{2}} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2}$ .
Lanjutan: $lim_{x \to 0} \frac{tan a x - sin a x}{x ^{3}} = \frac{a ^{3}}{2}$ .
Bila $x \to c$ dengan $c \neq = 0$ pada fungsi trigonometri, misalkan $y = x - c$ sehingga $y \to 0$ , lalu pakai rumus di atas.

Rumus / kaidah. Identitas trigonometri yang sering dipakai.

$sin 2 A = 2 sin A cos A$
$cos 2 A = 1 - 2 sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = cos^{2} A - sin^{2} A$
$1 + cos 2 A = 2 cos^{2} A$ dan $1 - cos 2 A = 2 sin^{2} A$
Sudut berelasi: $sin (9 0^{\circ} - x) = cos x$ dan $cos (9 0^{\circ} - x) = sin x$ .
Juga: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ dan $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ .
Dalam radian: $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ dan $18 0^{\circ} = π$ .
Untuk $x \to \frac{π}{2}$ atau $x \to π$ , pakai $y = x - \frac{π}{2}$ atau $y = π - x$ , lalu ubah ke limit di $0$ .
$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$
$sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$
$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$
$cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$
Contoh rumus selisih: $lim_{x \to a} \frac{sin x - sin a}{x - a}$ .
Ubah menjadi $2 cos \frac{x + a}{2} \cdot \frac{sin \frac{x - a}{2}}{x - a}$ .
Limit $\frac{sin \frac{x - a}{2}}{x - a} = \frac{1}{2}$ , sehingga hasilnya $cos a$ .

Rumus / kaidah. Limit fungsi sepotong-sepotong (dilatihkan guru).

Fungsi sepotong-sepotong: $f (x) = f_{1} (x)$ untuk $x < a$ dan $f (x) = f_{2} (x)$ untuk $x > a$ . Limit kiri memakai $f_{1}$ ; limit kanan memakai $f_{2}$ .
Limit di $a$ ada bila limit kiri sama dengan limit kanan. Nilai $f (a)$ tidak memengaruhi limit.
Bila rumus cabang memuat parameter, samakan limit kiri dan limit kanan untuk mencari parameter.
Pada soal benar/salah, hitung limit kiri, limit kanan, dan $f (a)$ secara terpisah, lalu bandingkan.

Rumus / kaidah. Limit di tak hingga (dilatihkan guru).

$lim_{x \to \infty} \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{m} x ^{m} + \dots}$ bernilai $0$ bila $n < m$ , $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ bila $n = m$ , dan $\pm \infty$ bila $n > m$ .
Untuk $n > m$ , tanda $\pm \infty$ sama dengan tanda $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ .
Untuk $x \to - \infty$ dan $n > m$ : tanda hasil $= tanda (\frac{a _{n}}{b _{m}}) \cdot (- 1)^{n - m}$ .
Contoh: $lim_{x \to - \infty} \frac{x ^{3}}{x ^{2}} = - \infty$ .
Selisih dua akar, dengan $a > 0$ : $lim_{x \to \infty} (a x^{2} + b x + c - a x^{2} + p x + q) = \frac{b - p}{2 a}$ .
Asal-usul: kali sekawan, lalu bagi dengan $x$ .
Akar dikurangi linear, dengan $a > 0$ dan $m > 0$ : $lim_{x \to \infty} (a x^{2} + b x + c - (m x + n))$ .
- Bila $m = a$ : hasilnya $\frac{b - 2 mn}{2 m}$ .
- Bila $0 < m < a$ : hasilnya $+ \infty$ .
- Bila $m > a$ : hasilnya $- \infty$ .
Rumus $\frac{b - 2 mn}{2 m}$ hanya berlaku bila $m = a > 0$ .

Jebakan.

Menulis $\frac{sin a x}{b x} \to \frac{b}{a}$ . Yang benar $\frac{a}{b}$ : koefisien pada pembilang menjadi pembilang hasil.
$lim \frac{sin a x}{x} = a$ , bukan 1; dan $lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$ , bukan $\frac{1}{2}$ . Nilai $\frac{1}{2}$ hanya untuk pembagi $x^{2}$ .
Menjawab bentuk $\frac{0}{0}$ sebagai $0$ atau "tidak ada". Bentuk $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu yang harus disederhanakan dulu.
Menganggap bentuk $\infty - \infty$ otomatis bernilai 0. Bentuk ini harus diubah dengan kali sekawan.
Contoh: $lim_{x \to \infty} (x^{2} + 4 x - x) = \frac{4}{2} = 2$ , bukan $0$ .
Memakai rumus akar dikurangi linear $\frac{b - 2 mn}{2 m}$ tanpa memeriksa $m = a$ . Bila $m \neq = a$ , hasilnya $+ \infty$ atau $- \infty$ .
Pada $x \to - \infty$ , $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ ; salah tanda sering terjadi saat membagi dengan $x$ .
Rumus limit trigonometri dipakai dengan sudut dalam derajat. Rumus hanya berlaku untuk radian; $\frac{sin x ^{\circ}}{x}$ tidak menuju 1.
$x \to 0$ harus berarti argumen fungsi trigonometri juga $\to 0$ .
Memakai rumus limit di 0 untuk $x \to c$ yang bukan 0 tanpa mengganti peubah.
Misalkan $y = x - c$ agar $y \to 0$ , lalu tulis ulang semua fungsi trigonometri dalam $y$ .
Memakai Teorema L'Hôpital: soal limit dapat diselesaikan tanpa teorema itu; gunakan faktorisasi, sekawan, atau identitas trigonometri.

Contoh singkat. Tentukan $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 4 x}{x tan 2 x}$ .

Substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$ , sehingga perlu penyederhanaan.
Gunakan $1 - cos 4 x = 2 sin^{2} 2 x$ .
Bentuk menjadi $2 \cdot \frac{sin 2 x}{x} \cdot \frac{sin 2 x}{tan 2 x}$ .
Limit tiap faktor: $\frac{sin 2 x}{x} \to 2$ dan $\frac{sin 2 x}{tan 2 x} \to 1$ .
Hasil: $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ .
Pemeriksaan cara lain: $\frac{1 - cos 4 x}{x ^{2}} \to \frac{16}{2} = 8$ dan $\frac{x}{tan 2 x} \to \frac{1}{2}$ , hasil kalinya $4$ .

Jawaban: 4.

Contoh lanjutan. Faktorisasi, kali sekawan, limit trigonometri di $x \to π$ , fungsi sepotong-sepotong, dan limit di tak hingga.

Contoh A. Tentukan $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .

Substitusi $x = 2$ : pembilang $4 - 4 = 0$ dan penyebut $4 - 6 + 2 = 0$ , bentuk $\frac{0}{0}$ .
Faktorkan: pembilang $(x - 2) (x + 2)$ dan penyebut $(x - 1) (x - 2)$ .
Coret $(x - 2)$ karena $x \neq = 2$ : bentuk menjadi $\frac{x + 2}{x - 1}$ .
Substitusi $x = 2$ : $\frac{2 + 2}{2 - 1} = 4$ .

Jawaban: 4.

Contoh B. Tentukan $lim_{x \to 4} \frac{x - 2}{x - 4}$ .

Substitusi $x = 4$ : $\frac{2 - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ .
Kalikan dengan sekawan $x + 2$ : $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 4 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 4}{( x - 4 ) ( x + 2 )}$ .
Coret $(x - 4)$ : bentuk menjadi $\frac{1}{x + 2}$ .
Substitusi $x = 4$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Jawaban: $\frac{1}{4}$ .

Contoh C. Tentukan $lim_{x \to π} \frac{1 + cos x}{( x - π ) ^{2}}$ .

Substitusi $x = π$ : pembilang $1 + cos π = 1 - 1 = 0$ dan penyebut $0$ , bentuk $\frac{0}{0}$ .
Misalkan $y = x - π$ . Bila $x \to π$ maka $y \to 0$ .
$cos x = cos (y + π) = - cos y$ , sehingga $1 + cos x = 1 - cos y$ .
Limit menjadi $lim_{y \to 0} \frac{1 - cos y}{y ^{2}}$ .
Dengan rumus $\frac{1 - cos a y}{y ^{2}} \to \frac{a ^{2}}{2}$ dan $a = 1$ : hasilnya $\frac{1}{2}$ .

Jawaban: $\frac{1}{2}$ .

Contoh D. Fungsi $f$ didefinisikan $f (x) = 3 x - 1$ untuk $x < 2$ , $f (2) = 0$ , dan $f (x) = x^{2} + k$ untuk $x > 2$ . Tentukan $k$ agar $lim_{x \to 2} f (x)$ ada, lalu nilai limitnya.

Limit kiri memakai $3 x - 1$ : $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ .
Limit kanan memakai $x^{2} + k$ : $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 4 + k$ .
Limit ada bila limit kiri sama dengan limit kanan: $5 = 4 + k$ , sehingga $k = 1$ .
Nilai limit adalah $5$ .
Nilai $f (2) = 0$ tidak memengaruhi limit; limit $5$ berbeda dari $f (2)$ .

Jawaban: $k = 1$ dan $lim_{x \to 2} f (x) = 5$ .

Contoh E. Tentukan $lim_{x \to \infty} \frac{3 x ^{2} - x + 1}{2 x ^{2} + 5}$ .

Pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama, yaitu $2$ .
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x^{2}$ : $\frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{2 + \frac{5}{x ^{2}}}$ .
Untuk $x \to \infty$ : $\frac{1}{x} \to 0$ , $\frac{1}{x ^{2}} \to 0$ , dan $\frac{5}{x ^{2}} \to 0$ .
Hasil: $\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$ .

Jawaban: $\frac{3}{2}$ .

Contoh F. Tentukan $lim_{x \to \infty} (9 x^{2} + 4 x + 1 - 9 x^{2} - 2 x + 5)$ .

Identifikasi $a = 9 > 0$ , $b = 4$ , dan $p = - 2$ pada rumus $\frac{b - p}{2 a}$ .
$a = 3$ .
Hasil: $\frac{4 - ( - 2 )}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ .
Pemeriksaan dengan sekawan: selisih kuadrat kedua akar $= (9 x^{2} + 4 x + 1) - (9 x^{2} - 2 x + 5) = 6 x - 4$ .
Bentuk menjadi $\frac{6 x - 4}{9 x ^{2} + 4 x + 1 + 9 x ^{2} - 2 x + 5}$ . Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ : $\frac{6 - \frac{4}{x}}{9 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + 9 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x ^{2}}}$ .
Untuk $x \to \infty$ : $\frac{6}{3 + 3} = 1$ .

Jawaban: 1.

Contoh G. Hitung $lim_{x \to \infty} (4 x^{2} + 6 x + 1 - (m x + 1))$ untuk $m = 2$ , $m = 1$ , dan $m = 3$ .

Di sini $a = 4$ , sehingga $a = 2$ ; $b = 6$ dan $n = 1$ .
Kasus $m = 2 = a$ : rumus memberi $\frac{b - 2 mn}{2 m} = \frac{6 - 2 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Pemeriksaan dengan sekawan: $(4 x^{2} + 6 x + 1) - (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x^{2} - 4 x - 1 = 2 x$ . Bagi dengan $x$ : $\frac{2}{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 + \frac{1}{x}} \to \frac{2}{2 + 2} = \frac{1}{2}$ .
Kasus $m = 1 < a$ : tulis $4 x^{2} + 6 x + 1 = x 4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$ , sehingga ungkapan $= x (4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x ^{2}} - 1 - \frac{1}{x})$ .
Isi kurung menuju $2 - 1 = 1 > 0$ dan $x \to \infty$ , sehingga hasilnya $+ \infty$ .
Kasus $m = 3 > a$ : ungkapan $= x (4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x ^{2}} - 3 - \frac{1}{x})$ .
Isi kurung menuju $2 - 3 = - 1 < 0$ dan $x \to \infty$ , sehingga hasilnya $- \infty$ .

Jawaban: $m = 2$ memberi $\frac{1}{2}$ ; $m = 1$ memberi $+ \infty$ ; $m = 3$ memberi $- \infty$ .

Sudah dipelajari

STRATEGI

Strategi 60 menit untuk 25 soal

Waktu per soal = durasi dibagi jumlah soal: $60 \div 25 = 2, 4$ menit, yaitu 2 menit 24 detik.
Bagi waktu menjadi tiga tahap: 40 menit putaran pertama, 15 menit putaran kedua, 5 menit pemeriksaan akhir.
Bila durasi atau jumlah soal resmi berbeda, hitung ulang dengan rumus yang sama; pemeriksaan akhir tetap sekitar 5 menit.
Bila waktu belajar terbatas, pelajari bab dengan urutan: Fungsi (cakupan terluas), Limit, Matriks, Polinomial, Vektor, Lingkaran, Transformasi.
Turunan dan Integral tidak diujikan; jangan memakai waktu belajar untuk keduanya.
Putaran pertama: kerjakan soal yang rumusnya langsung dikenali (substitusi limit, determinan $2 \times 2$ , jarak titik ke garis, sifat logaritma).
Soal yang belum menunjukkan jalan setelah sekitar 3 menit: tandai dan lewati.
Pada pilihan ganda kompleks dan benar/salah, periksa tiap pernyataan satu per satu.
Jangan berhenti setelah menemukan satu pernyataan benar.
Jangan menilai pernyataan lain dari kesimpulan pernyataan pertama.
Uji pernyataan umum dengan angka sederhana.
Contoh: matriks $2 \times 2$ kecil untuk sifat determinan, atau satu titik tertentu untuk transformasi.
Sebelum memilih jawaban, periksa syarat yang sering terlewat:
- numerus dan basis logaritma;
- $det \neq = 0$ untuk invers matriks $2 \times 2$ dan $3 \times 3$ ;
- satuan radian pada limit trigonometri;
- limit kiri dan limit kanan pada fungsi sepotong-sepotong;
- tanda pertidaksamaan bila basis di antara $0$ dan $1$ .
Pastikan seluruh 25 soal terisi sebelum waktu habis.
Gunakan 5 menit terakhir untuk soal bertanda yang sudah punya jawaban sementara.

Sudah dipelajari