Rabu, 4 November · 25 soal · 75 menit

Matematika Wajib

TKA Matematika Wajib dilaksanakan pada 4 November 2026: 25 soal dalam 75 menit, rata-rata 3 menit per soal. Elemen yang diujikan: bilangan, aljabar, geometri dan pengukuran, trigonometri, serta data dan peluang. Soal berkonteks sehari-hari atau numerasi. Bentuk soal: pilihan ganda, pilihan ganda kompleks (lebih dari satu jawaban benar), dan pilihan ganda kompleks kategori (tiap pernyataan dinilai benar atau salah).

Cakupan resmi. Rangkuman ini mengikuti Perka BSKAP No. 045/H/AN/2025 (halaman 14-18, muatan Matematika wajib) dan materi situs yang sudah diaudit terhadap dokumen itu. Sepuluh bab di bawah adalah pengelompokan belajar, bukan struktur resmi; jumlah soal dan bobot per bab tidak tercantum di dokumen resmi dan tidak diklaim. Butir yang sebelumnya ada di rangkuman ini tetapi tidak tercantum di dokumen resmi sudah dihapus: logaritma (sifat, persamaan, ubah basis), matriks, limit, turunan, aturan sinus, aturan kosinus, persamaan trigonometri, dan determinan atau aturan Cramer sebagai cara menyelesaikan SPL (tersisa satu baris pelengkap berprioritas rendah di matwa-02). Persamaan eksponen dan notasi ilmiah diturunkan menjadi pelengkap. Transformasi garis atau kurva diturunkan menjadi prioritas rendah karena kisi resmi hanya mencakup transformasi titik. Program linear memakai dua variabel keputusan; SPL dan SPtL paling banyak tiga variabel. Butir yang tidak tercantum eksplisit di kisi tetapi dilatihkan guru diberi label "(dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit)": deret geometri tak hingga, identitas trigonometri dasar dan sudut berelasi, jumlah dan hasil kali akar (Vieta), akar bersarang, frekuensi harapan, kuartil dan desil data kelompok, serta rumus Heron. Label "pelengkap" berarti materi penunjang yang tidak dijadikan dasar cakupan; pelajari setelah butir inti.

MATWA-01

Bilangan Real, Bilangan Berpangkat, dan Bentuk Akar

Inti. Soal menguji jenis dan sifat bilangan real, operasi hitung dan pecahan, pangkat bulat dan pecahan, penyederhanaan bentuk akar, dan merasionalkan penyebut.

Himpunan bilangan bersarang: tiap himpunan adalah bagian dari himpunan di luarnya, dan bilangan real terdiri atas rasional dan irasional yang tidak beririsan.

Rumus / kaidah. Bilangan real, pangkat, dan akar.

Himpunan bilangan: asli $\subset$ cacah $\subset$ bulat $\subset$ rasional $\subset$ real.
Bilangan rasional dapat ditulis $\frac{a}{b}$ dengan $a$ , $b$ bulat dan $b \neq = 0$ , termasuk desimal berhenti dan desimal berulang.
Bilangan irasional (misalnya $2$ , $π$ , $e$ ) berdesimal tak berhenti dan tak berulang.
Sifat operasi: penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif dan asosiatif; perkalian distributif atas penjumlahan, $a (b + c) = ab + a c$ .
Pengurangan dan pembagian tidak komutatif dan tidak asosiatif.
Urutan operasi: tanda kurung; pangkat dan akar; $\times$ dan $\div$ (dari kiri ke kanan); $+$ dan $-$ .
Menjumlahkan pecahan memerlukan penyebut yang sama. Membagi pecahan berarti mengalikan dengan kebalikan pembagi.
$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ , dengan $a \neq = 0$ .
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$ dan $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$ , dengan $b \neq = 0$ .
$a^{0} = 1$ dan $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , berlaku untuk $a \neq = 0$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ . Untuk $n$ genap, $a \geq 0$ .
Contoh: $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 4$ .
Akar: $a \times b = a \times b$ dan $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , berlaku untuk $a \geq 0$ dan $b > 0$ .
Sederhanakan dengan memisahkan faktor kuadrat sempurna. Contoh: $72 = 36 \times 2 = 62$ .
Akar dapat dijumlah atau dikurang hanya bila radikannya sama (akar sejenis): $p a + q a = (p + q) a$ .
Merasionalkan $\frac{c}{b}$ : kalikan $\frac{b}{b}$ , hasilnya $\frac{c b}{b}$ (syarat $b > 0$ ).
Merasionalkan $\frac{c}{a + b}$ : kalikan sekawannya $a - b$ , hasilnya $\frac{c ( a - b )}{a ^{2} - b}$ (syarat $a^{2} \neq = b$ ).
Merasionalkan $\frac{c}{a + b}$ : kalikan $a - b$ , hasilnya $\frac{c ( a - b )}{a - b}$ (syarat $a \neq = b$ ). Untuk $\frac{c}{a - b}$ , kalikan $a + b$ .
Dasar merasionalkan: $(p + q) (p - q) = p^{2} - q^{2}$ .
Contoh: $\frac{6}{3 + 3} = \frac{6 ( 3 - 3 )}{9 - 3} = 3 - 3$ .

Rumus / kaidah. Pelengkap (bukan butir eksplisit di kisi resmi; penerapan pangkat bulat).

Notasi ilmiah: $a \times 1 0^{n}$ dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.
Persamaan eksponen: $a^{p} = a^{q} \Rightarrow p = q$ , dengan $a > 0$ dan $a \neq = 1$ . Contoh: $3^{x + 1} = 27 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$ .

Rumus / kaidah. Akar bersarang (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

Bentuk $(p + q) \pm 2 pq = p \pm q$ , dengan $p > q$ untuk tanda minus. Cari dua bilangan yang berjumlah $p + q$ dan berhasil kali $pq$ .
Contoh: $7 + 210$ . Dua bilangan berjumlah 7 dan berhasil kali 10 adalah 5 dan 2, sehingga hasilnya $5 + 2$ .
Akar bersarang tak hingga: $x = a + a + a + \dots$ memenuhi $x^{2} = a + x$ dengan $x \geq 0$ .

Jebakan.

Menyamakan $(a + b)^{n}$ dengan $a^{n} + b^{n}$ , atau $a + b$ dengan $a + b$ . Keduanya salah.
$- 2^{2} = - 4$ (pangkat dikerjakan lebih dahulu), sedangkan $(- 2)^{2} = 4$ .
Pangkat negatif menghasilkan kebalikan, bukan bilangan negatif: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ , bukan $x$ . Akar kuadrat selalu bernilai tak negatif.
Menganggap $π = \frac{22}{7}$ sebagai bilangan rasional. Nilai $\frac{22}{7}$ hanya pendekatan; $π$ tetap irasional.
Menjumlahkan akar yang tidak sejenis: $2 + 3 \neq = 5$ .
Menggabungkan pangkat padahal basisnya berbeda: $2^{3} \times 3^{2}$ tidak sama dengan $6^{5}$ .

Contoh singkat. Tentukan bentuk sederhana dari $\frac{12}{7 + 3} + 48 - 12$ .

Rasionalkan dengan sekawan $7 - 3$ : $\frac{12}{7 + 3} = \frac{12 ( 7 - 3 )}{( 7 + 3 ) ( 7 - 3 )}$ .
Penyebut: $7 - 3 = 4$ . Maka bentuknya $\frac{12 ( 7 - 3 )}{4} = 37 - 33$ .
$48 = 16 \times 3 = 43$ .
$12 = 4 \times 3 = 23$ .
Jumlahkan suku $3$ : $- 33 + 43 - 23 = (- 3 + 4 - 2) 3 = - 3$ .
Hasil akhir: $37 - 3$ .

Jawaban: $37 - 3$ .

Contoh lanjutan. Hitung $2 7^{\frac{2}{3}} + 1 6^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 7^{\frac{2}{3}} = (327)^{2} = 3^{2} = 9$ .
$1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 6 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ .
Jumlahkan: $9 + \frac{1}{4} = \frac{36}{4} + \frac{1}{4} = \frac{37}{4}$ .

Jawaban: $\frac{37}{4}$ (sama dengan 9,25).

Contoh lanjutan. (Dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Tentukan nilai $x = 6 + 6 + 6 + \dots$ .

Bagian di bawah akar terluar sama dengan $x$ itu sendiri, sehingga $x = 6 + x$ .
Kuadratkan kedua ruas: $x^{2} = 6 + x$ , yaitu $x^{2} - x - 6 = 0$ .
Faktorkan: $(x - 3) (x + 2) = 0$ , sehingga $x = 3$ atau $x = - 2$ .
Akar kuadrat tidak negatif, maka $x = - 2$ dibuang.

Jawaban: $x = 3$ .

Sudah dipelajari

MATWA-02

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear serta Program Linear

Inti. Soal menguji pemodelan situasi sehari-hari menjadi sistem persamaan linear (SPL) atau sistem pertidaksamaan linear (SPtL) dengan paling banyak tiga variabel. Juga program linear dengan dua variabel keputusan: menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan pada daerah penyelesaian.

Daerah layak meja-kursi dengan empat titik pojok; nilai f terbesar ada di (6, 8), yaitu Rp5.400.000.

Rumus / kaidah. SPL dan pertidaksamaan linear.

Penyelesaian SPL harus memenuhi semua persamaan sekaligus.
SPL dua variabel: $a x + b y = c$ dan $p x + q y = r$ .
Substitusi: nyatakan satu variabel dari persamaan pertama, masukkan ke persamaan kedua.
Eliminasi: samakan koefisien satu variabel, lalu jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan.
Banyak penyelesaian (untuk $p$ , $q$ , $r \neq = 0$ ): tepat satu bila $\frac{a}{p} \neq = \frac{b}{q}$ (garis berpotongan).
Tak hingga banyak bila $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$ (garis berimpit).
Tidak ada penyelesaian bila $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq = \frac{c}{r}$ (garis sejajar).
SPL tiga variabel (paling banyak tiga variabel): eliminasi satu variabel yang sama dari dua pasang persamaan, sehingga terbentuk SPL dua variabel.
Selesaikan SPL dua variabel itu, lalu substitusikan kembali untuk mendapat variabel ketiga.
Pertidaksamaan linear: kedua ruas boleh ditambah atau dikurang bilangan apa pun tanpa mengubah tanda.
Dikali atau dibagi bilangan negatif: tanda pertidaksamaan dibalik. Contoh: $- 2 x + 3 > 7 \Rightarrow - 2 x > 4 \Rightarrow x < - 2$ .
Pelengkap, prioritas rendah (cara determinan atau aturan Cramer tidak dipakai di kisi resmi; cukup eliminasi dan substitusi): hasil eliminasi SPL dua variabel adalah $x = \frac{c q - b r}{a q - b p}$ dan $y = \frac{a r - c p}{a q - b p}$ , dengan $a q - b p \neq = 0$ .

Rumus / kaidah. Daerah penyelesaian dan program linear (dua variabel keputusan).

Garis yang memotong sumbu $x$ di $(s, 0)$ dan sumbu $y$ di $(0, t)$ : $\frac{x}{s} + \frac{y}{t} = 1$ , dengan $s \neq = 0$ dan $t \neq = 0$ .
Garis batas daerah penyelesaian: putus-putus untuk $<$ atau $>$ , utuh untuk $\leq$ atau $\geq$ .
Uji satu titik yang tidak terletak pada garis, misalnya $(0, 0)$ . Bila pertidaksamaan benar, arsir sisi yang memuat titik itu.
Irisan semua arsiran adalah daerah layak.
Langkah 1 program linear: tentukan variabel keputusan $x$ , $y$ dan kendala dari batas sumber daya. Tambahkan $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ bila variabel menyatakan banyak barang.
Langkah 2: gambar daerah layak.
Langkah 3: titik pojok = perpotongan garis batas yang berada di daerah layak.
Langkah 4: hitung fungsi tujuan $f (x, y) = m x + n y$ di tiap titik pojok.
Langkah 5: ambil nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum).

Jebakan.

Lupa membalik tanda pertidaksamaan saat dikali atau dibagi bilangan negatif.
Titik potong dua garis yang berada di luar daerah layak bukan titik pojok. Uji tiap titik terhadap semua kendala.
Syarat $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ sering terlewat sehingga daerah layak salah.
Hanya menghitung $f$ di titik pojok yang tampak jelas. Semua titik pojok harus diuji.
Salah tanda saat mengurangkan dua persamaan pada eliminasi: suku negatif ikut berubah tanda.
Jika variabel menyatakan banyak benda, penyelesaian harus bilangan bulat.
Bila titik pojok tidak bulat, periksa titik bulat di sekitarnya yang masih layak.

Contoh singkat. Pengrajin membuat meja ( $x$ ) dan kursi ( $y$ ). Meja: 4 jam kerja, 1 lembar kayu, laba Rp500.000. Kursi: 2 jam kerja, 1 lembar kayu, laba Rp300.000. Tersedia 40 jam kerja dan 14 lembar kayu. Tentukan laba maksimum.

Kendala jam kerja: $4 x + 2 y \leq 40$ . Bagi kedua ruas dengan 2: $2 x + y \leq 20$ .
Kendala kayu: $x + y \leq 14$ . Kendala banyak barang: $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ .
Fungsi tujuan: $f (x, y) = 500.000 x + 300.000 y$ .
Garis $2 x + y = 20$ memotong sumbu di $(10, 0)$ dan $(0, 20)$ . Garis $x + y = 14$ memotong sumbu di $(14, 0)$ dan $(0, 14)$ .
Pada sumbu $x$ batas yang lebih ketat adalah $x \leq 10$ , sehingga $(10, 0)$ adalah titik pojok. Periksa: $10 + 0 = 10 \leq 14$ (layak).
Pada sumbu $y$ batas yang lebih ketat adalah $y \leq 14$ , sehingga $(0, 14)$ adalah titik pojok. Periksa: $2 (0) + 14 = 14 \leq 20$ (layak).
Perpotongan kedua garis: kurangkan $(2 x + y) - (x + y) = 20 - 14$ , hasilnya $x = 6$ . Maka $y = 14 - 6 = 8$ . Titik $(6, 8)$ ; periksa $2 (6) + 8 = 20$ (layak).
Titik pojok lain: $(0, 0)$ .
Nilai $f$ : $f (0, 0) = 0$ ; $f (10, 0) = 500.000 \times 10 = 5.000.000$ ; $f (0, 14) = 300.000 \times 14 = 4.200.000$ .
$f (6, 8) = 500.000 \times 6 + 300.000 \times 8 = 3.000.000 + 2.400.000 = 5.400.000$ .
Nilai terbesar adalah $5.400.000$ di $(6, 8)$ , dan titik itu bilangan bulat.

Jawaban: laba maksimum Rp5.400.000, dengan 6 meja dan 8 kursi.

Contoh lanjutan. Penjahit membuat baju ( $x$ ) dan celana ( $y$ ). Persediaan kain 12 m dan waktu kerja 9 jam. Baju memakai 2 m kain dan 1 jam; celana memakai 1 m kain dan 2 jam. Laba baju Rp30.000 dan celana Rp20.000. Tentukan laba maksimum.

Kendala kain: $2 x + y \leq 12$ . Kendala waktu: $x + 2 y \leq 9$ . Juga $x \geq 0$ , $y \geq 0$ .
Fungsi tujuan (dalam ribu rupiah): $f = 30 x + 20 y$ .
Pada sumbu $x$ : $x \leq 6$ (dari kain) dan $x \leq 9$ (dari waktu), sehingga titik pojok $(6, 0)$ .
Pada sumbu $y$ : $y \leq 12$ (dari kain) dan $2 y \leq 9$ , yaitu $y \leq \frac{9}{2}$ (dari waktu), sehingga titik pojok $(0, \frac{9}{2})$ .
Perpotongan: kalikan $2 x + y = 12$ dengan 2 menjadi $4 x + 2 y = 24$ .
Kurangkan $x + 2 y = 9$ : $3 x = 15$ , sehingga $x = 5$ . Lalu $y = 12 - 2 (5) = 2$ . Titik $(5, 2)$ .
Periksa: $2 (5) + 2 = 12$ dan $5 + 2 (2) = 9$ . Keduanya terpenuhi.
Nilai $f$ : $f (0, 0) = 0$ ; $f (6, 0) = 180$ ; $f (0, \frac{9}{2}) = 90$ ; $f (5, 2) = 150 + 40 = 190$ .
Nilai terbesar adalah 190 di $(5, 2)$ , titik bulat sehingga layak.

Jawaban: laba maksimum 190 ribu rupiah, yaitu Rp190.000, dengan 5 baju dan 2 celana.

Contoh lanjutan. Selesaikan SPL tiga variabel: $x + y + z = 6$ (1); $2 x - y + z = 3$ (2); $x + 2 y - z = 2$ (3).

Eliminasi $z$ dari pasangan (1) dan (2): kurangkan (2) dari (1): $(x - 2 x) + (y + y) + (z - z) = 6 - 3$ , yaitu $- x + 2 y = 3$ (4).
Eliminasi $z$ dari pasangan (2) dan (3): jumlahkan: $(2 x + x) + (- y + 2 y) + (z - z) = 3 + 2$ , yaitu $3 x + y = 5$ (5).
Dari (4): $x = 2 y - 3$ .
Substitusi ke (5): $3 (2 y - 3) + y = 5$ , yaitu $7 y - 9 = 5$ , sehingga $7 y = 14$ dan $y = 2$ .
$x = 2 (2) - 3 = 1$ .
Dari (1): $z = 6 - 1 - 2 = 3$ .
Periksa di (2): $2 (1) - 2 + 3 = 3$ . Periksa di (3): $1 + 4 - 3 = 2$ . Keduanya benar.

Jawaban: $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Sudah dipelajari

MATWA-03

Fungsi: Domain-Range, Fungsi Linear/Kuadrat/Rasional, Komposisi, dan Invers

Inti. Soal menguji domain, kodomain, dan range; representasi analitis dan grafik fungsi linear, kuadrat, dan rasional; komposisi fungsi; serta fungsi invers.

Grafik h(t) = −5t² + 20t + 25: titik puncak (2, 45) pada sumbu simetri t = 2, dan bola mendarat di t = 5 karena akar t = −1 tidak berlaku.

Komposisi bergantung pada urutan (nilai x = 3 memberi 19 dan 49), dan invers komposisi membalik urutan fungsinya.

Rumus / kaidah. Fungsi: domain, range, linear, rasional, komposisi, dan invers.

Fungsi memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
Domain alami adalah himpunan $x$ agar $f (x)$ terdefinisi. Range adalah himpunan nilai keluaran yang benar-benar tercapai, sehingga range merupakan bagian dari kodomain.
Untuk $\frac{1}{g ( x )}$ berlaku $g (x) \neq = 0$ .
Untuk $g (x)$ berlaku $g (x) \geq 0$ .
Untuk $\frac{1}{g ( x )}$ berlaku $g (x) > 0$ .
Fungsi linear $f (x) = m x + c$ : garis dengan gradien $m$ yang memotong sumbu $y$ di $(0, c)$ .
Gradien melalui dua titik: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , dengan $x_{1} \neq = x_{2}$ .
Persamaan garis melalui $(x_{1}, y_{1})$ dengan gradien $m$ : $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .
Garis sejajar bergradien sama; garis tegak lurus bila $m_{1} \times m_{2} = - 1$ .
Fungsi rasional $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ , dengan $c \neq = 0$ dan $a d - b c \neq = 0$ .
Asimtot tegak $x = - \frac{d}{c}$ ; asimtot datar $y = \frac{a}{c}$ .
Bila $a d - b c = 0$ , fungsinya konstan (dengan satu titik berlubang) dan tidak mempunyai asimtot.
Komposisi: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ , yaitu $g$ dikerjakan lebih dahulu. Umumnya $f \circ g \neq = g \circ f$ .
Invers ada bila $f$ satu-satu dan pada. Cara mencari: tulis $y = f (x)$ , nyatakan $x$ dalam $y$ , lalu tukar nama variabel.
Grafik $f^{- 1}$ adalah hasil refleksi grafik $f$ terhadap garis $y = x$ .
Invers fungsi linear: $f (x) = a x + b \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ , dengan $a \neq = 0$ .
Invers fungsi rasional di atas: $f^{- 1} (x) = \frac{- d x + b}{c x - a}$ .
Invers komposisi: $(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ .

Rumus / kaidah. Fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat.

Fungsi kuadrat $f (x) = a x^{2} + b x + c$ dengan $a \neq = 0$ berupa parabola.
Diskriminan $D = b^{2} - 4 a c$ .
Rumus akar (rumus abc): $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$ . Rumus abc diturunkan dari melengkapkan kuadrat sempurna.
$D > 0$ : dua akar real berbeda (parabola memotong sumbu $x$ di dua titik).
$D = 0$ : dua akar real kembar (parabola menyinggung sumbu $x$ ).
$D < 0$ : tidak ada akar real (parabola tidak memotong sumbu $x$ ).
Sumbu simetri: $x = - \frac{b}{2 a}$ . Titik puncak: $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{D}{4 a})$ . Memotong sumbu $y$ di $(0, c)$ .
Bentuk puncak: $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ dengan titik puncak $(p, q)$ .
$a > 0$ : terbuka ke atas, $- \frac{D}{4 a}$ adalah nilai minimum, range $y \geq - \frac{D}{4 a}$ .
$a < 0$ : terbuka ke bawah, $- \frac{D}{4 a}$ adalah nilai maksimum, range $y \leq - \frac{D}{4 a}$ .
Persamaan kuadrat dengan akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ : $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ .

Rumus / kaidah. Jumlah dan hasil kali akar (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ dan $x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$ .
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ .
Persamaan kuadrat dengan akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ : $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$ .

Rumus / kaidah. Pertidaksamaan kuadrat (pelengkap; tidak tercantum eksplisit di kisi resmi, berguna untuk menentukan domain).

Langkah: (1) pindahkan semua suku ke satu ruas; (2) cari akar; (3) gambar garis bilangan; (4) uji tanda tiap interval.
Untuk $p < q$ : $(x - p) (x - q) < 0 \Rightarrow p < x < q$ .
Untuk $p < q$ : $(x - p) (x - q) > 0 \Rightarrow x < p$ atau $x > q$ .
Tanda $\leq$ atau $\geq$ : akar ikut dalam penyelesaian. Bentuk pecahan: akar penyebut tidak pernah ikut.

Jebakan.

Urutan komposisi: $(f \circ g) (x)$ berarti $f (g (x))$ , bukan $g (f (x))$ .
$f^{- 1} (x)$ bukan $\frac{1}{f ( x )}$ . Invers adalah pembalikan proses, bukan kebalikan bilangan.
$(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ (urutan terbalik), bukan $f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .
Range fungsi kuadrat dibatasi nilai puncak; range tidak selalu semua bilangan real.
Lupa syarat domain: penyebut tidak boleh nol dan radikan tidak boleh negatif.
Salah tanda pada rumus abc. Bila $b$ negatif, $- b$ bernilai positif.
Bila $a$ dan $c$ berbeda tanda, $a c < 0$ , sehingga $- 4 a c$ positif dan $D$ lebih besar dari $b^{2}$ .
Jangan membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bentuk yang memuat $x$ : tanda bisa berbalik dan sebagian penyelesaian hilang. Contoh: $x^{2} > 3 x$ dibagi $x$ memberi $x > 3$ , padahal jawabannya $x < 0$ atau $x > 3$ . Pindahkan semua suku ke satu ruas, lalu faktorkan.

Contoh singkat. Tinggi sebuah bola yang dilempar ke atas adalah $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 25$ meter, $t$ dalam detik. Tentukan tinggi maksimum dan waktu bola mencapai tanah.

Koefisien $a = - 5 < 0$ , sehingga $h$ mempunyai nilai maksimum di sumbu simetri $t = - \frac{b}{2 a}$ .
$t = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = - \frac{20}{- 10} = 2$ .
$h (2) = - 5 (2)^{2} + 20 (2) + 25 = - 20 + 40 + 25 = 45$ .
Pemeriksaan: $D = 2 0^{2} - 4 (- 5) (25) = 400 + 500 = 900$ , sehingga $- \frac{D}{4 a} = - \frac{900}{- 20} = 45$ .
Bola mencapai tanah saat $h = 0$ : $- 5 t^{2} + 20 t + 25 = 0$ . Bagi kedua ruas dengan $- 5$ : $t^{2} - 4 t - 5 = 0$ .
Faktorkan: $(t - 5) (t + 1) = 0$ , sehingga $t = 5$ atau $t = - 1$ .
Waktu tidak negatif, maka $t = - 1$ dibuang dan $t = 5$ .

Jawaban: tinggi maksimum 45 meter pada $t = 2$ detik; bola mencapai tanah pada $t = 5$ detik.

Contoh lanjutan. Diketahui $f (x) = 2 x + 1$ dan $g (x) = x^{2}$ . Tentukan $(f \circ g) (x)$ , $(g \circ f) (x)$ , nilainya di $x = 3$ , dan $(f \circ g)^{- 1} (19)$ dengan domain $g$ dibatasi $x \geq 0$ .

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$ .
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ .
$(f \circ g) (3) = 2 (3)^{2} + 1 = 2 (9) + 1 = 19$ .
$(g \circ f) (3) = 4 (9) + 4 (3) + 1 = 36 + 12 + 1 = 49$ . Karena $19 \neq = 49$ , urutan komposisi memengaruhi hasil.
Untuk $(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ : dari $y = 2 x + 1$ diperoleh $f^{- 1} (y) = \frac{y - 1}{2}$ , sehingga $f^{- 1} (19) = \frac{18}{2} = 9$ .
Dengan domain $x \geq 0$ , $g^{- 1} (y) = y$ , sehingga $g^{- 1} (9) = 3$ .

Jawaban: $2 x^{2} + 1$ ; $4 x^{2} + 4 x + 1$ ; nilai di $x = 3$ berturut-turut 19 dan 49; $(f \circ g)^{- 1} (19) = 3$ .

Contoh lanjutan. Diketahui $f (x) = 2 x - 3$ dan $g (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ , $x \neq = 2$ . Tentukan $(g \circ f)^{- 1} (3)$ .

$(g \circ f) (x) = g (2 x - 3) = \frac{( 2 x - 3 ) + 1}{( 2 x - 3 ) - 2} = \frac{2 x - 2}{2 x - 5}$ .
Mencari $(g \circ f)^{- 1} (3)$ berarti mencari $x$ yang memenuhi $\frac{2 x - 2}{2 x - 5} = 3$ .
Kalikan silang: $2 x - 2 = 3 (2 x - 5) = 6 x - 15$ .
Pindahkan suku: $- 2 + 15 = 6 x - 2 x$ , yaitu $13 = 4 x$ , sehingga $x = \frac{13}{4}$ .
Periksa: $\frac{2 ( 3 , 25 ) - 2}{2 ( 3 , 25 ) - 5} = \frac{4 , 5}{1 , 5} = 3$ .

Jawaban: $\frac{13}{4}$ .

Contoh lanjutan. Tentukan invers $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

Tulis $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ dan kalikan dengan penyebut: $y (x - 3) = 2 x + 1$ .
Buka kurung: $x y - 3 y = 2 x + 1$ .
Kumpulkan suku $x$ di satu ruas: $x y - 2 x = 3 y + 1$ .
Faktorkan $x$ : $x (y - 2) = 3 y + 1$ , sehingga $x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$ .
Tukar nama variabel: $f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .
Periksa dengan rumus: $a = 2$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = - 3$ memberi $\frac{- ( - 3 ) x + 1}{1 \cdot x - 2} = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Jawaban: $f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ , untuk $x \neq = 2$ .

Contoh lanjutan. Tentukan domain alami $f (x) = \frac{x - 2}{x - 5}$ dan range $h (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

Akar mensyaratkan $x - 2 \geq 0$ , sehingga $x \geq 2$ .
Penyebut mensyaratkan $x - 5 \neq = 0$ , sehingga $x \neq = 5$ . Domain: $x \geq 2$ dan $x \neq = 5$ .
Untuk $h$ : $a = 1 > 0$ , parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum di $x = - \frac{- 4}{2 ( 1 )} = 2$ .
$h (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ .
Range $h$ : $y \geq - 3$ .

Jawaban: domain ${x ∣ x \geq 2, x \neq = 5}$ ; range ${y ∣ y \geq - 3}$ .

Contoh lanjutan. Pertidaksamaan kuadrat (pelengkap): selesaikan $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ .

Semua suku sudah berada di satu ruas.
Faktorkan: $(x - 2) (x - 3) < 0$ .
Akar: $x = 2$ dan $x = 3$ .
Uji $x = 0$ : $0 - 0 + 6 = 6 > 0$ (tidak memenuhi). Uji $x = 2, 5$ : $6, 25 - 12, 5 + 6 = - 0, 25 < 0$ (memenuhi). Uji $x = 4$ : $16 - 20 + 6 = 2 > 0$ (tidak memenuhi).
Penyelesaian: interval di antara kedua akar.

Jawaban: $2 < x < 3$ .

Contoh lanjutan. (Dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Akar-akar $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Hitung $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

$a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 5$ .
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 6}{1} = 6$ .
$x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$ .
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 6^{2} - 2 (5) = 36 - 10 = 26$ .
Periksa: akarnya 1 dan 5, sehingga $1^{2} + 5^{2} = 1 + 25 = 26$ .

Jawaban: 26.

Sudah dipelajari

MATWA-04

Barisan dan Deret Aritmetika serta Geometri, Pertumbuhan, Peluruhan, dan Bunga

Inti. Soal menguji rumus suku ke- $n$ dan jumlah $n$ suku barisan aritmetika dan geometri. Konteks: bunga tunggal, bunga majemuk, pertumbuhan, dan peluruhan.

Bola jatuh 10 m lalu memantul setinggi 6 m; 3,6 m; 2,16 m; … (rasio 3/5). Jumlah tinggi pantulan membentuk deret geometri tak hingga bernilai 15 m.

Rumus / kaidah. Barisan dan deret aritmetika serta geometri.

Barisan adalah urutan bilangan menurut pola; deret adalah jumlah suku-sukunya: $S_{n} = U_{1} + U_{2} + \dots + U_{n}$ .
Barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$ : $U_{n} = a + (n - 1) b$ .
Beda: $b = U_{n} - U_{n - 1}$ untuk $n \geq 2$ .
Banyak suku dari $p$ sampai $q$ dengan beda $b$ : $\frac{q - p}{b} + 1$ .
$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) = \frac{n}{2} (a + U_{n})$
$U_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ untuk $n \geq 2$ . Untuk suku pertama, $U_{1} = S_{1}$ .
Barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ : $U_{n} = a \times r^{n - 1}$ .
Rasio: $r = \frac{U _{n}}{U _{n - 1}}$ untuk $n \geq 2$ . Rasio negatif membuat tanda suku berselang-seling.
$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ , untuk $r \neq = 1$ . Pilih bentuk yang penyebutnya positif.
Bila $r = 1$ , maka $S_{n} = n \times a$ .

Rumus / kaidah. Pertumbuhan, peluruhan, bunga tunggal, dan bunga majemuk.

Bunga tunggal dihitung dari modal awal saja, sehingga saldo membentuk barisan aritmetika: bunga $= M_{0} \times i \times n$ dan jumlah akhir $M = M_{0} (1 + n \times i)$ .
Bunga majemuk dihitung dari saldo periode sebelumnya, sehingga saldo membentuk barisan geometri: $M_{n} = M_{0} (1 + i)^{n}$ .
$i$ = suku bunga per periode, $n$ = banyak periode.
Contoh: bunga 12% per tahun dimajemukkan tiap bulan berarti $i = 1%$ per bulan, dan $n$ dihitung dalam bulan.
Pertumbuhan $p$ persen per periode: $N = N_{0} (1 + p)^{t}$ . Peluruhan: $N = N_{0} (1 - p)^{t}$ .
$p$ = laju per periode (dalam bentuk desimal), $t$ = banyak periode.
Bentuk lain (pelengkap): waktu penggandaan $T$ memberi $N = N_{0} \times 2^{t / T}$ ; waktu paruh $T$ memberi $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ .

Rumus / kaidah. Suku tengah dan sisipan (pendukung).

Menyisipkan $k$ suku di antara $p$ dan $q$ pada barisan aritmetika: beda baru $\frac{q - p}{k + 1}$ .
Menyisipkan $k$ suku di antara $p$ dan $q$ pada barisan geometri: rasio baru $r$ memenuhi $r^{k + 1} = \frac{q}{p}$ .
Suku tengah aritmetika: $U_{t} = \frac{a + U _{n}}{2}$ . Suku tengah geometri: $U_{t}^{2} = a \times U_{n}$ . Banyak suku harus ganjil.

Rumus / kaidah. Deret geometri tak hingga (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ , hanya bila $∣ r ∣ < 1$ (yaitu $- 1 < r < 1$ ).
Jika $∣ r ∣ \geq 1$ , deret divergen (tidak mempunyai jumlah tertentu).

Jebakan.

Banyak suku dari $U_{k}$ sampai $U_{m}$ adalah $m - k + 1$ , bukan $m - k$ . Pada beda $b$ : $\frac{q - p}{b}$ harus ditambah 1.
$U_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ tidak berlaku untuk $n = 1$ ; gunakan $U_{1} = S_{1}$ .
Menukar bunga tunggal dan bunga majemuk.
Satuan $i$ dan $n$ tidak sama, misalnya suku bunga per tahun dengan lama dalam bulan. Samakan periodenya sebelum menghitung.
Bunga bukan jumlah akhir. Bunga adalah selisih jumlah akhir dengan modal; baca apa yang ditanyakan.
Pada peluruhan memakai faktor $(1 + p)$ atau $\frac{1}{1 + p}$ , padahal faktor yang benar adalah $(1 - p)$ .
Memakai $S_{\infty}$ tanpa memeriksa $∣ r ∣ < 1$ .

Contoh singkat. Suku ke-3 barisan aritmetika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 27. Tentukan jumlah 20 suku pertama.

Kurangkan: $U_{7} - U_{3} = (a + 6 b) - (a + 2 b) = 4 b$ .
$4 b = 27 - 11 = 16$ , sehingga $b = 4$ .
Dari $U_{3} = a + 2 b = 11$ : $a + 2 (4) = 11$ , sehingga $a = 3$ .
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 a + 19 b) = 10 (2 \times 3 + 19 \times 4) = 10 (6 + 76) = 10 \times 82 = 820$ .
Periksa: $U_{7} = 3 + 6 \times 4 = 27$ .

Jawaban: 820.

Contoh lanjutan. Suku ke-2 barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan jumlah 6 suku pertama.

Bagi: $\frac{U _{5}}{U _{2}} = \frac{a r ^{4}}{a r} = r^{3}$ .
$r^{3} = \frac{48}{6} = 8$ , sehingga $r = 2$ .
Dari $U_{2} = a r = 6$ : $a \times 2 = 6$ , sehingga $a = 3$ .
$r > 1$ , jadi pakai $S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ : $S_{6} = \frac{3 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = 3 (64 - 1) = 189$ .
Periksa dengan menjumlahkan suku: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$ .

Jawaban: 189.

Contoh lanjutan. Tentukan banyak suku barisan 7, 10, 13, ..., 100.

Suku pertama $p = 7$ , suku terakhir $q = 100$ , beda $b = 10 - 7 = 3$ .
Banyak suku $= \frac{q - p}{b} + 1 = \frac{100 - 7}{3} + 1 = \frac{93}{3} + 1 = 31 + 1 = 32$ .
Periksa: $U_{32} = 7 + 31 \times 3 = 100$ .

Jawaban: 32 suku.

Contoh lanjutan. Bunga tunggal dan bunga majemuk. Modal Rp2.000.000 dibungakan 6% per tahun selama 3 tahun. Bandingkan jumlah akhir bunga tunggal dan bunga majemuk (dimajemukkan tiap tahun).

Bunga tunggal: bunga $= M_{0} \times i \times n = 2.000.000 \times 0, 06 \times 3 = 360.000$ .
Jumlah akhir tunggal: $2.000.000 + 360.000 = 2.360.000$ .
Bunga majemuk: $(1 + i)^{n} = (1, 06)^{3}$ . $(1, 06)^{2} = 1, 1236$ , lalu $1, 1236 \times 1, 06 = 1, 191016$ .
Jumlah akhir majemuk: $2.000.000 \times 1, 191016 = 2.382.032$ .
Bunga majemuk: $2.382.032 - 2.000.000 = 382.032$ .
Selisih kedua jumlah akhir: $2.382.032 - 2.360.000 = 22.032$ .

Jawaban: bunga tunggal menghasilkan Rp2.360.000, bunga majemuk menghasilkan Rp2.382.032; bunga majemuk lebih besar Rp22.032.

Contoh lanjutan. Modal Rp1.000.000 dibungakan majemuk 12% per tahun, dimajemukkan tiap bulan, selama 2 tahun. Tentukan jumlah akhir.

Suku bunga per bulan: $i = \frac{12%}{12} = 1% = 0, 01$ .
Banyak periode: $n = 2 \times 12 = 24$ bulan.
$M_{24} = 1.000.000 \times (1, 01)^{24}$ .
$(1, 01)^{24} \approx 1, 269735$ (hitung dengan kalkulator).
$M_{24} \approx 1.000.000 \times 1, 269735 = 1.269.735$ .
Bunga: $1.269.735 - 1.000.000 = 269.735$ .

Jawaban: sekitar Rp1.269.735 (bunganya sekitar Rp269.735).

Contoh lanjutan. Pertumbuhan dan peluruhan. (a) Penduduk sebuah desa 50.000 jiwa tumbuh 10% per tahun. Berapa jumlahnya setelah 2 tahun? (b) Mesin bernilai Rp100.000.000 menyusut 10% per tahun. Berapa nilainya setelah 2 tahun? (c) Zat bermassa 80 g mempunyai waktu paruh 3 hari. Berapa massa sisa setelah 9 hari?

(a) Faktor tumbuh: $1 + 0, 10 = 1, 1$ . $N = 50.000 \times (1, 1)^{2} = 50.000 \times 1, 21 = 60.500$ .
(b) Faktor meluruh: $1 - 0, 10 = 0, 9$ . $N = 100.000.000 \times (0, 9)^{2} = 100.000.000 \times 0, 81 = 81.000.000$ .
(c) $T = 3$ dan $t = 9$ , sehingga $\frac{t}{T} = 3$ .
$N = 80 \times (\frac{1}{2})^{3} = 80 \times \frac{1}{8} = 10$ .

Jawaban: (a) 60.500 jiwa; (b) Rp81.000.000; (c) 10 g.

Contoh lanjutan. (Deret geometri tak hingga; dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap memantul, bola mencapai $\frac{3}{5}$ dari tinggi sebelumnya. Hitung panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti.

Lintasan turun pertama: 10 m.
Tinggi pantulan membentuk deret geometri dengan $a = \frac{3}{5} \times 10 = 6$ dan $r = \frac{3}{5}$ .
Karena $∣ r ∣ = \frac{3}{5} < 1$ , deret konvergen.
Jumlah tinggi semua pantulan: $S_{\infty} = \frac{6}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{6}{\frac{2}{5}} = 6 \times \frac{5}{2} = 15$ m.
Setiap pantulan ditempuh naik lalu turun, sehingga lintasan setelah jatuh pertama adalah $2 \times 15 = 30$ m.
Total: $10 + 30 = 40$ m.

Jawaban: 40 m.

Sudah dipelajari

MATWA-05

Geometri: Sudut, Kekongruenan, Kesebangunan, Pythagoras, dan Bangun Ruang

Inti. Soal menguji hubungan sudut, garis, dan bidang; kekongruenan dan kesebangunan; teorema Pythagoras; serta sifat bangun datar dan bangun ruang. Tujuannya mencari panjang atau besar sudut yang tidak diketahui, termasuk pada bangun ruang.

Tiang dan gedung membentuk dua segitiga siku-siku sebangun karena sudut sinar matahari sama; perbandingan tinggi dan bayangan sama, yaitu 2/3.

Pada bangun sebangun berskala k, panjang berubah k kali, luas k² kali, dan volume k³ kali (contoh k = 3: luas menjadi 9 kali).

Rumus / kaidah. Sudut, kongruensi, dan kesebangunan.

Sudut berpelurus berjumlah $18 0^{\circ}$ ; sudut berpenyiku berjumlah $9 0^{\circ}$ . Sudut bertolak belakang sama besar.
Jumlah sudut dalam segitiga $= 18 0^{\circ}$ ; segiempat $= 36 0^{\circ}$ .
Jumlah sudut dalam segi- $n$ $= (n - 2) \times 18 0^{\circ}$ . Tiap sudut segi- $n$ beraturan $= \frac{( n - 2 ) \times 18 0 ^{\circ}}{n}$ .
Sudut luar segitiga = jumlah dua sudut dalam yang tidak bersebelahan dengannya.
Dua garis sejajar dipotong garis lain:
- Sudut sehadap sama besar.
- Sudut dalam berseberangan sama besar.
- Sudut dalam sepihak berjumlah $18 0^{\circ}$ .
Kongruen: bentuk dan ukuran sama. Segitiga kongruen bila memenuhi salah satu syarat berikut:
- Sisi-sisi-sisi.
- Sisi-sudut-sisi (sudut di antara kedua sisi itu).
- Sudut-sisi-sudut (sisi di antara kedua sudut itu).
- Sudut-sudut-sisi.
Sebangun: sudut bersesuaian sama besar, sisi bersesuaian sebanding. Segitiga sebangun bila dua sudutnya sama besar, atau ketiga perbandingan sisi bersesuaian sama.
Skala $k$ : panjang dikali $k$ , luas dikali $k^{2}$ , volume dikali $k^{3}$ .
Garis sejajar alas $BC$ dalam segitiga $A BC$ memotong $A B$ di $D$ dan $A C$ di $E$ : $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$ .

Rumus / kaidah. Pythagoras dan bangun ruang.

Pythagoras: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dengan $c$ sisi miring (sisi terpanjang).
Tripel yang sering muncul: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, dan kelipatannya.
Segitiga $4 5^{\circ}$ - $4 5^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ : sisi siku-siku : sisi siku-siku : sisi miring $= 1 : 1 : 2$ .
Segitiga $3 0^{\circ}$ - $6 0^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ : sisi di depan $3 0^{\circ}$ : di depan $6 0^{\circ}$ : di depan $9 0^{\circ}$ (miring) $= 1 : 3 : 2$ .
Tinggi pada sisi miring segitiga siku-siku: $t = \frac{ab}{c}$ . Dengan $p$ dan $q$ proyeksi sisi $a$ dan $b$ pada sisi miring $c$ : $a^{2} = c \times p$ , $b^{2} = c \times q$ , $t^{2} = p \times q$ .
Dua garis di ruang dapat sejajar, berpotongan, atau bersilangan (tidak sejajar dan tidak berpotongan).
Kubus rusuk $s$ : diagonal sisi $s 2$ , diagonal ruang $s 3$ .
Balok $p \times l \times t$ : diagonal ruang $p^{2} + l^{2} + t^{2}$ .

Rumus / kaidah. Pelengkap (bukan butir eksplisit di kisi resmi): sudut pada lingkaran.

Sudut pusat $= 2 \times$ sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Sudut keliling yang menghadap diameter bernilai $9 0^{\circ}$ .

Jebakan.

Memasangkan sisi yang tidak bersesuaian pada segitiga sebangun. Tulis kesebangunan dengan urutan titik sudut ( $△ A BC \sim △ PQR$ ), lalu pasangkan sisi menurut urutan itu; cocokkan sisi lewat sudut yang sama besar.
Memakai skala panjang $k$ untuk membandingkan luas atau volume; seharusnya $k^{2}$ dan $k^{3}$ .
Menerapkan Pythagoras pada segitiga yang tidak siku-siku.
Salah menentukan sisi miring. Sisi miring berhadapan dengan sudut siku-siku dan selalu sisi terpanjang.
Dua garis di ruang yang tidak berpotongan belum tentu sejajar; keduanya dapat bersilangan.
Sudut dalam sepihak berjumlah $18 0^{\circ}$ , bukan sama besar. Yang sama besar adalah sudut sehadap dan sudut dalam berseberangan.

Contoh singkat. Tiang setinggi 2 m membentuk bayangan 3 m. Pada saat yang sama, bayangan sebuah gedung 45 m. Hitung tinggi gedung.

Sinar matahari sejajar, sehingga segitiga tiang dan segitiga gedung sebangun (dua sudutnya sama: sudut siku-siku dan sudut sinar matahari).
Misalkan tinggi gedung $t$ . Perbandingan tinggi terhadap bayangan sama: $\frac{t}{45} = \frac{2}{3}$ .
$t = 45 \times \frac{2}{3} = \frac{90}{3} = 30$ .

Jawaban: 30 m.

Contoh lanjutan. Pada $△ A BC$ , titik $D$ di $A B$ dan $E$ di $A C$ dengan $D E ∥ BC$ . Diketahui $A D = 6$ cm, $D B = 3$ cm, $D E = 8$ cm, dan luas $△ A D E = 24 c m^{2}$ . Tentukan $BC$ dan luas trapesium $D BCE$ .

$A B = A D + D B = 6 + 3 = 9$ cm.
$△ A D E \sim △ A BC$ dengan skala $k = \frac{A B}{A D} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .
$BC = D E \times k = 8 \times \frac{3}{2} = 12$ cm.
Luas $△ A BC = 24 \times k^{2} = 24 \times \frac{9}{4} = 54 c m^{2}$ .
Luas trapesium $D BCE = 54 - 24 = 30 c m^{2}$ .

Jawaban: $BC = 12$ cm; luas trapesium $D BCE = 30 c m^{2}$ .

Contoh lanjutan. Sebuah balok berukuran $4 cm \times 3 cm \times 12 cm$ . Hitung panjang diagonal ruangnya.

Rumus: $d = p^{2} + l^{2} + t^{2}$ .
Substitusi: $d = 4^{2} + 3^{2} + 1 2^{2} = 16 + 9 + 144$ .
Jumlahkan: $169$ .
$169 = 13$ .
Periksa dengan dua langkah Pythagoras: diagonal alas $= 4^{2} + 3^{2} = 5$ , lalu $5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13$ .

Jawaban: 13 cm.

Contoh lanjutan. Dua garis sejajar dipotong sebuah garis lain. Dua sudut dalam sepihak berukuran $(3 x + 10)^{\circ}$ dan $(2 x + 20)^{\circ}$ . Tentukan kedua sudut.

Sudut dalam sepihak berjumlah $18 0^{\circ}$ : $(3 x + 10) + (2 x + 20) = 180$ .
Sederhanakan: $5 x + 30 = 180$ .
$5 x = 150$ , sehingga $x = 30$ .
Sudut pertama: $3 (30) + 10 = 10 0^{\circ}$ . Sudut kedua: $2 (30) + 20 = 8 0^{\circ}$ .
Periksa: $10 0^{\circ} + 8 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

Jawaban: $10 0^{\circ}$ dan $8 0^{\circ}$ .

Sudah dipelajari

MATWA-06

Pengukuran: Keliling, Luas, Volume, Luas Permukaan, dan Jarak

Inti. Soal menguji keliling dan luas bangun datar, serta volume dan luas permukaan prisma, limas, tabung, kerucut, dan bola. Juga jarak titik ke titik, garis, dan bidang, misalnya pada kubus dan balok.

Jarak G ke garis BD adalah tinggi segitiga sama sisi GBD, yaitu GM = 3√6 cm untuk rusuk 6 cm (garis putus-putus adalah rusuk yang tersembunyi).

Rumus / kaidah.

$K$ = keliling, $L$ = luas, $V$ = volume, $L P$ = luas permukaan.
$L_{alas}$ dan $K_{alas}$ = luas alas dan keliling alas.
Gunakan tinggi yang tegak lurus alas.
Persegi panjang: $K = 2 (p + l)$ , $L = p \times l$ .
Segitiga: $L = \frac{1}{2} \times a \times t$ . Jajargenjang: $L = a \times t$ .
Trapesium: $L = \frac{1}{2} \times (a + b) \times t$ .
Belah ketupat dan layang-layang: $L = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$ .
Lingkaran: $K = 2 π r$ , $L = π r^{2}$ .
Juring dengan sudut $θ$ : luas $= \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}$ .
Panjang busur juring $= \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r$ .
Prisma: $V = L_{alas} \times t$ dan $L P = 2 \times L_{alas} + K_{alas} \times t$ .
Limas: $V = \frac{1}{3} \times L_{alas} \times t$ dan $L P = L_{alas}$ + jumlah luas sisi tegak.
Kubus: $V = s^{3}$ , $L P = 6 s^{2}$ .
Balok: $V = p \times l \times t$ , $L P = 2 (pl + pt + lt)$ .
Tabung: $V = π r^{2} t$ , $L P = 2 π r (r + t)$ .
Kerucut: $V = \frac{1}{3} π r^{2} t$ , $L P = π r (r + s)$ .
Garis pelukis kerucut: $s = r^{2} + t^{2}$ .
Bola: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , $L P = 4 π r^{2}$ .
Konversi satuan: $1 m^{2} = 1 0^{4} c m^{2}$ ; $1 m^{3} = 1 0^{6} c m^{3}$ ; $1 d m^{3} = 1 liter = 1.000 c m^{3}$ .
Jarak titik ke titik: panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya.
Jarak titik ke garis: panjang ruas dari titik itu yang tegak lurus garis.
Jarak titik ke bidang: panjang ruas dari titik itu yang tegak lurus bidang.
Cara mencari jarak: buat segitiga siku-siku lalu pakai Pythagoras, atau pakai kesamaan luas, tinggi $= \frac{2 \times luas}{alas}$ .
Kubus $A BC D . EFG H$ rusuk $s$ : jarak titik $G$ ke garis $B D$ adalah $\frac{s 6}{2}$ .
Alasannya: $△ GB D$ sama sisi dengan sisi $s 2$ , dan jarak itu adalah tingginya.
Kubus rusuk $s$ : jarak titik $C$ ke bidang $B D G$ adalah $\frac{s 3}{3}$ .
Di titik $C$ , rusuk $CB$ , $C D$ , dan $CG$ saling tegak lurus. Limas $C . B D G$ beralas $△ BC D$ dan tinggi $CG$ , jadi $V = \frac{s ^{3}}{6}$ .
Volume yang sama $V = \frac{1}{3} \times L_{△ B D G} \times$ jarak, sehingga jarak $= \frac{3 V}{L _{△ B D G}}$ .

Rumus / kaidah. Rumus Heron (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

Segitiga bersisi $a$ , $b$ , $c$ dengan setengah keliling $s = \frac{a + b + c}{2}$ : $L = s (s - a) (s - b) (s - c)$ .

Jebakan.

Satuan: volume dalam $c m^{3}$ atau $m^{3}$ harus diubah ke liter bila diminta. Faktor $c m^{2}$ ke $m^{2}$ adalah $1 0^{4}$ , bukan 100.
Memakai sisi miring sebagai tinggi pada segitiga, jajargenjang, atau trapesium.
Tinggi limas dan kerucut adalah tinggi tegak lurus alas, bukan garis pelukis atau tinggi sisi tegak.
Pada luas permukaan kerucut, gunakan garis pelukis $s$ .
Lupa faktor $\frac{1}{3}$ pada limas dan kerucut, atau $\frac{4}{3}$ pada bola.
Soal berbunyi tanpa tutup atau tanpa alas: luas bagian itu harus dikurangkan dari luas permukaan.
Jarak titik ke garis atau bidang harus tegak lurus. Panjang ruas garis miring bukan jarak, dan jarak ke garis diukur ke titik kaki tegak lurus, bukan ke sembarang titik pada garis.

Contoh singkat. Pada kubus $A BC D . EFG H$ dengan rusuk 6 cm, hitung jarak titik $G$ ke garis $B D$ .

$B D$ , $GB$ , dan $G D$ adalah diagonal sisi kubus, masing-masing $62$ cm. Maka $△ GB D$ sama sisi.
Misalkan $M$ titik tengah $B D$ . $GM$ tegak lurus $B D$ , dan $BM = \frac{6 2}{2} = 32$ cm.
$G M^{2} = G B^{2} - B M^{2} = (62)^{2} - (32)^{2} = 72 - 18 = 54$ .
$GM = 54 = 9 \times 6 = 36$ .

Jawaban: $36$ cm.

Contoh lanjutan. Pada kubus $A BC D . EFG H$ dengan rusuk 6 cm, hitung jarak titik $C$ ke bidang $B D G$ .

Di titik $C$ , rusuk $CB$ , $C D$ , dan $CG$ saling tegak lurus dan masing-masing 6 cm. Limas $C . B D G$ beralas $△ BC D$ dengan tinggi $CG$ .
Luas $△ BC D = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 c m^{2}$ .
Volume limas $= \frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36 c m^{3}$ .
$△ B D G$ sama sisi dengan sisi $62$ cm. Luasnya $\frac{3}{4} \times (62)^{2} = \frac{3}{4} \times 72 = 183 c m^{2}$ .
Volume yang sama dengan alas $△ B D G$ : $36 = \frac{1}{3} \times 183 \times d = 63 d$ .
$d = \frac{36}{6 3} = \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ .
Periksa dengan rumus $\frac{s 3}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ .

Jawaban: $23$ cm.

Contoh lanjutan. Limas segiempat beraturan $T . A BC D$ dengan $A B = 12$ cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $A B$ dan luas permukaan limas.

Misalkan $M$ titik tengah $A B$ . $TM ⊥ A B$ , sehingga $TM$ adalah tinggi sisi tegak sekaligus jarak $T$ ke $A B$ .
Jarak dari titik pusat alas ke $A B$ adalah setengah sisi alas: $\frac{12}{2} = 6$ cm.
$TM = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm.
Luas satu sisi tegak $= \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60 c m^{2}$ . Empat sisi tegak: $4 \times 60 = 240 c m^{2}$ .
Luas alas $= 12 \times 12 = 144 c m^{2}$ .
Luas permukaan $= 144 + 240 = 384 c m^{2}$ .

Jawaban: jarak $T$ ke $A B$ adalah 10 cm; luas permukaan 384 $c m^{2}$ .

Contoh lanjutan. Sebuah tabung berjari-jari 7 cm dan tinggi 20 cm (pakai $π = \frac{22}{7}$ ). Hitung volumenya dalam liter.

$V = π r^{2} t = \frac{22}{7} \times 7^{2} \times 20$ .
$7^{2} = 49$ , sehingga $V = \frac{22}{7} \times 49 \times 20 = 22 \times 7 \times 20$ .
$22 \times 7 = 154$ , lalu $154 \times 20 = 3.080 c m^{3}$ .
Ubah ke liter: $3.080 c m^{3} \div 1.000 = 3, 08$ liter.

Jawaban: 3,08 liter.

Contoh lanjutan. (Rumus Heron; dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Hitung luas segitiga bersisi 13 cm, 14 cm, dan 15 cm.

Setengah keliling: $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ .
Selisih: $s - a = 21 - 13 = 8$ ; $s - b = 21 - 14 = 7$ ; $s - c = 21 - 15 = 6$ .
$L = 21 \times 8 \times 7 \times 6$ . Hasil kali: $21 \times 8 = 168$ ; $168 \times 7 = 1.176$ ; $1.176 \times 6 = 7.056$ .
$7.056 = 84$ .
Periksa dengan alas 14 dan tinggi 12: $\frac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84$ .

Jawaban: 84 $c m^{2}$ .

Sudah dipelajari

MATWA-07

Transformasi Geometri: Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi, dan Komposisinya

Inti. Soal menguji penentuan koordinat bayangan sebuah titik setelah satu atau beberapa transformasi berurutan (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, dan komposisinya). Kisi resmi hanya mencakup transformasi pada titik.

Bayangan A(3, 2) setelah rotasi 90° berlawanan arah jarum jam, lalu refleksi terhadap y = x, berakhir di (3, −2).

Rumus / kaidah. Transformasi pada titik.

Translasi oleh $(a, b)$ : $(x, y) \to (x + a, y + b)$ . Bentuk, ukuran, dan orientasi tidak berubah.
Refleksi: jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. Ukuran tetap, orientasi berbalik.
Refleksi terhadap sumbu $x$ : $(x, y) \to (x, - y)$ .
Refleksi terhadap sumbu $y$ : $(x, y) \to (- x, y)$ .
Refleksi terhadap titik asal: $(x, y) \to (- x, - y)$ .
Refleksi terhadap garis $y = x$ : $(x, y) \to (y, x)$ .
Refleksi terhadap garis $y = - x$ : $(x, y) \to (- y, - x)$ .
Refleksi terhadap garis $x = h$ : $(x, y) \to (2 h - x, y)$ .
Refleksi terhadap garis $y = k$ : $(x, y) \to (x, 2 k - y)$ .
Rotasi pusat $O (0, 0)$ , sudut $θ$ berlawanan arah jarum jam: $(x, y) \to (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ .
Kasus khusus rotasi pusat $O$ :
- $9 0^{\circ}$ : $(x, y) \to (- y, x)$ .
- $18 0^{\circ}$ : $(x, y) \to (- x, - y)$ .
- $27 0^{\circ}$ (atau $- 9 0^{\circ}$ ): $(x, y) \to (y, - x)$ .
Rotasi pusat $P (a, b)$ : geser agar $P$ menjadi titik asal, rotasikan, lalu geser kembali.
$x^{'} = a + (x - a) cos θ - (y - b) sin θ$
$y^{'} = b + (x - a) sin θ + (y - b) cos θ$
Dilatasi pusat $O$ faktor $k$ : $(x, y) \to (k x, k y)$ .
Dilatasi pusat $(a, b)$ : $(x, y) \to (a + k (x - a), b + k (y - b))$ .
Panjang bayangan dikali $∣ k ∣$ , luas dikali $k^{2}$ .
Komposisi: transformasi yang disebut pertama dikerjakan lebih dahulu. $T_{2} \circ T_{1}$ berarti $T_{1}$ dikerjakan lebih dahulu, kemudian $T_{2}$ . Urutan komposisi umumnya memengaruhi hasil.
Translasi, refleksi, dan rotasi mempertahankan panjang dan luas (isometri), sehingga bayangannya kongruen. Dilatasi dengan $∣ k ∣ \neq = 1$ menghasilkan bangun sebangun.
Dua refleksi berurutan pada garis sejajar berjarak $d$ setara dengan translasi sejauh $2 d$ . Pada dua garis berpotongan dengan sudut $α$ , setara dengan rotasi $2 α$ .

Rumus / kaidah. Pelengkap (di luar kisi resmi; tidak diperlukan untuk menjawab soal titik).

Representasi matriks rotasi pusat $O$ sudut $θ$ : $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ . Cukup pakai rumus $x^{'}$ dan $y^{'}$ di atas.

Rumus / kaidah. Prioritas rendah: transformasi garis atau kurva (di luar kisi resmi; hanya dilatihkan guru pada satu soal).

Bayangan sebuah garis ditentukan dengan mentransformasikan dua titik pada garis itu, lalu menarik garis melalui kedua bayangan.

Jebakan.

Arah rotasi: sudut positif berarti berlawanan arah jarum jam; searah jarum jam berarti sudut negatif.
Rotasi $9 0^{\circ}$ searah jarum jam sama dengan $27 0^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam.
Refleksi terhadap $y = - x$ menghasilkan $(- y, - x)$ , bukan $(- x, - y)$ dan bukan $(y, x)$ .
Urutan komposisi dibalik.
Dilatasi dengan pusat bukan $O$ dihitung seolah-olah berpusat di $O$ ; gunakan $x^{'} = a + k (x - a)$ .
Luas bangun hasil dilatasi dikali $k^{2}$ , bukan $k$ .

Contoh singkat. Titik $A (3, 2)$ dirotasi $9 0^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam terhadap $O$ , kemudian direfleksi terhadap garis $y = x$ . Tentukan bayangan akhir.

Rotasi $9 0^{\circ}$ : $(x, y) \to (- y, x)$ , sehingga $A (3, 2)$ menjadi $A^{'} (- 2, 3)$ .
Refleksi terhadap $y = x$ : $(x, y) \to (y, x)$ , sehingga $A^{'} (- 2, 3)$ menjadi $A^{''} (3, - 2)$ .
Bila urutan dibalik (refleksi dahulu): $(3, 2) \to (2, 3)$ lalu rotasi $9 0^{\circ}$ memberi $(- 3, 2)$ , hasil yang berbeda.

Jawaban: $(3, - 2)$ .

Contoh lanjutan. Titik $A (3, - 2)$ dirotasi $9 0^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O$ , kemudian didilatasi dengan pusat $(1, 1)$ dan faktor 2. Tentukan koordinat bayangan akhir.

Rotasi $9 0^{\circ}$ pusat $O$ : $(x, y) \to (- y, x)$ , sehingga $A (3, - 2)$ menjadi $A^{'} (2, 3)$ .
Dilatasi pusat $(1, 1)$ faktor 2: $x^{''} = 1 + 2 (2 - 1) = 1 + 2 = 3$ .
$y^{''} = 1 + 2 (3 - 1) = 1 + 4 = 5$ .

Jawaban: $A^{''} (3, 5)$ .

Contoh lanjutan. Titik $B (5, 4)$ direfleksi terhadap garis $x = 2$ , kemudian ditranslasi oleh $(1, - 3)$ . Tentukan bayangan akhir.

Refleksi terhadap $x = h$ dengan $h = 2$ : $(x, y) \to (2 h - x, y)$ .
$x^{'} = 2 (2) - 5 = - 1$ dan $y^{'} = 4$ , sehingga $B^{'} (- 1, 4)$ .
Translasi $(1, - 3)$ : $x^{''} = - 1 + 1 = 0$ dan $y^{''} = 4 - 3 = 1$ .

Jawaban: $B^{''} (0, 1)$ .

Contoh lanjutan. Titik $C (4, 6)$ dirotasi $9 0^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $P (1, 2)$ . Tentukan bayangannya.

Untuk $θ = 9 0^{\circ}$ : $cos θ = 0$ dan $sin θ = 1$ .
$x - a = 4 - 1 = 3$ dan $y - b = 6 - 2 = 4$ .
$x^{'} = a + (x - a) cos θ - (y - b) sin θ = 1 + 3 (0) - 4 (1) = 1 - 4 = - 3$ .
$y^{'} = b + (x - a) sin θ + (y - b) cos θ = 2 + 3 (1) + 4 (0) = 2 + 3 = 5$ .

Jawaban: $C^{'} (- 3, 5)$ .

Sudah dipelajari

MATWA-08

Trigonometri: Perbandingan, Sudut Istimewa, dan Identitas Dasar

Inti. Soal menguji enam perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, cot, sec, csc), nilai sudut istimewa, dan penerapannya pada segitiga siku-siku. Konteks: sudut elevasi, sudut depresi, tinggi, dan jarak.

Dua segitiga siku-siku dengan perbandingan sisi tetap menghasilkan semua nilai sinus, kosinus, dan tangen sudut istimewa 30°, 45°, dan 60°.

Rumus / kaidah. Perbandingan trigonometri, sudut istimewa, dan sudut elevasi atau depresi.

Pada segitiga siku-siku dengan sudut lancip $θ$ : $sin θ$ = depan/miring.
$cos θ$ = samping/miring.
$tan θ$ = depan/samping $= \frac{sin θ}{cos θ}$ .
Sisi depan dan samping ditentukan oleh sudut acuan $θ$ ; keduanya tertukar bila acuan berganti ke sudut lain.
Kebalikan: $csc θ = \frac{1}{sin θ}$ , $sec θ = \frac{1}{cos θ}$ , $cot θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{sin θ}$ (penyebut tidak boleh 0).
Sudut elevasi: sudut antara garis mendatar dan garis pandang ke atas.
Sudut depresi: sudut antara garis mendatar dan garis pandang ke bawah.
Keduanya diukur dari garis mendatar, bukan dari garis tegak. Gambar segitiga siku-siku, lalu pilih perbandingan yang memuat besaran yang diketahui dan yang dicari.
Tinggi dari sudut elevasi: tinggi $=$ jarak mendatar $\times tan θ$ ( $θ$ sudut elevasi). Bila mata pengamat berada pada tinggi tertentu, tambahkan tinggi mata itu.
Nilai sudut istimewa:

$θ$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin θ$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos θ$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan θ$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	tidak terdefinisi
$cot θ$	tidak terdefinisi	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$	$0$
$sec θ$	$1$	$\frac{2 3}{3}$	$2$	$2$	tidak terdefinisi
$csc θ$	tidak terdefinisi	$2$	$2$	$\frac{2 3}{3}$	$1$

Rumus / kaidah. Identitas dasar, kuadran, dan sudut berelasi (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

Identitas: $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ (dari Pythagoras pada lingkaran satuan).
Bagi dengan $cos^{2} θ$ ( $cos θ \neq = 0$ ): $1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$ . Bagi dengan $sin^{2} θ$ ( $sin θ \neq = 0$ ): $1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$ .
Sudut berelasi (penyiku): $sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ$ , $cos (9 0^{\circ} - θ) = sin θ$ , $tan (9 0^{\circ} - θ) = cot θ$ .
Sudut berelasi (pelurus): $sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ , $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ , $tan (18 0^{\circ} - θ) = - tan θ$ .
Sudut negatif: $sin (- θ) = - sin θ$ , $cos (- θ) = cos θ$ , $tan (- θ) = - tan θ$ .
Tanda tiap kuadran: kuadran I semua positif; II hanya $sin$ (dan $csc$ ) positif; III hanya $tan$ (dan $cot$ ) positif; IV hanya $cos$ (dan $sec$ ) positif.
Reduksi sudut besar ke sudut lancip memakai sudut acuan, dengan tanda sesuai kuadran.

Rumus / kaidah. Luas segitiga dari dua sisi dan sudut apit (pendukung).

$L = \frac{1}{2} \times a \times b \times sin C$ , dengan $C$ sudut di antara sisi $a$ dan $b$ .

Jebakan.

Menentukan sisi depan dan samping tanpa melihat sudut acuan.
$sin 2 θ$ umumnya tidak sama dengan $2 sin θ$ , dan $sin^{2} θ \neq = sin (θ^{2})$ .
$sin (A + B)$ umumnya tidak sama dengan $sin A + sin B$ . Fungsi trigonometri tidak dapat didistribusikan.
Mengukur sudut elevasi dari garis tegak. Gambar sketsa dan tandai garis horizontalnya.
$tan$ dan $sec$ tidak terdefinisi di $9 0^{\circ}$ dan $27 0^{\circ}$ ; $cot$ dan $csc$ tidak terdefinisi di $0^{\circ}$ dan $18 0^{\circ}$ (penyebutnya nol).
Lupa tanda pada kuadran II, III, dan IV saat mereduksi sudut besar.
Bila memakai kalkulator: periksa mode derajat (bukan radian) saat sudut diberikan dalam derajat.

Contoh singkat. Dari titik $A$ di tanah, sudut elevasi puncak menara adalah $3 0^{\circ}$ . Setelah mendekati menara sejauh 40 m, sudut elevasinya menjadi $6 0^{\circ}$ . Tentukan tinggi menara.

Misalkan tinggi menara $h$ dan jarak mendatar awal dari $A$ ke kaki menara $d$ .
Dari $tan 3 0^{\circ} = \frac{h}{d}$ dengan $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ : $d = \frac{h}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{3 h}{3} = h 3$ .
Setelah maju 40 m, jarak mendatar menjadi $d - 40$ . Dari $tan 6 0^{\circ} = \frac{h}{d - 40}$ dengan $tan 6 0^{\circ} = 3$ : $d - 40 = \frac{h}{3}$ .
Substitusi $d = h 3$ : $h 3 - 40 = \frac{h}{3}$ .
Pindahkan suku $h$ : $h 3 - \frac{h}{3} = 40$ . Samakan penyebut: $h \times \frac{3 - 1}{3} = 40$ , yaitu $h \times \frac{2}{3} = 40$ .
$h = \frac{40 3}{2} = 203$ .
Periksa: $d = 203 \times 3 = 60$ ; $d - 40 = 20$ ; $\frac{h}{3} = \frac{20 3}{3} = 20$ . Cocok.

Jawaban: $203$ m (sekitar 34,6 m).

Contoh lanjutan. Dari puncak menara setinggi 30 m, sudut depresi sebuah mobil di tanah adalah $3 0^{\circ}$ . Tentukan jarak mendatar mobil dari kaki menara.

Sudut depresi diukur dari garis mendatar di puncak menara ke arah bawah. Garis mendatar itu sejajar tanah, sehingga sudut elevasi puncak dari mobil juga $3 0^{\circ}$ (sudut dalam berseberangan).
Pada segitiga siku-siku: $tan 3 0^{\circ} = \frac{tinggi}{jarak mendatar} = \frac{30}{d}$ .
$d = \frac{30}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{30}{\frac{3}{3}} = \frac{90}{3}$ .
Rasionalkan: $\frac{90}{3} \times \frac{3}{3} = \frac{90 3}{3} = 303$ .

Jawaban: $303$ m (sekitar 52,0 m).

Contoh lanjutan. Pengamat bermata setinggi 1,5 m berdiri 20 m dari tiang bendera. Sudut elevasi puncak tiang adalah $4 5^{\circ}$ . Tentukan tinggi tiang.

Tinggi bagian tiang di atas mata $=$ jarak mendatar $\times tan 4 5^{\circ}$ .
$tan 4 5^{\circ} = 1$ , sehingga bagian itu $= 20 \times 1 = 20$ m.
Tambahkan tinggi mata: $20 + 1, 5 = 21, 5$ m.

Jawaban: 21,5 m.

Contoh lanjutan. Diketahui $sin θ = \frac{3}{5}$ dengan $θ$ sudut lancip. Tentukan lima perbandingan trigonometri yang lain.

Misalkan sisi depan $= 3$ dan sisi miring $= 5$ .
Sisi samping $= 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ .
$cos θ = \frac{samping}{miring} = \frac{4}{5}$ dan $tan θ = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4}$ .
Kebalikan: $cot θ = \frac{4}{3}$ , $sec θ = \frac{5}{4}$ , $csc θ = \frac{5}{3}$ .

Jawaban: $cos θ = \frac{4}{5}$ ; $tan θ = \frac{3}{4}$ ; $cot θ = \frac{4}{3}$ ; $sec θ = \frac{5}{4}$ ; $csc θ = \frac{5}{3}$ .

Contoh lanjutan. (Sudut berelasi; dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Hitung $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ}$ , dan $tan 13 5^{\circ}$ .

$sin 15 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$cos 12 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
$tan 13 5^{\circ} = tan (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = - tan 4 5^{\circ} = - 1$ .

Jawaban: $\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{2}$ , dan $- 1$ .

Contoh lanjutan. (Luas segitiga; pendukung.) Dua kapal bertolak dari pelabuhan $A$ dengan arah yang membentuk sudut $6 0^{\circ}$ . Kapal pertama di $B$ dengan $A B = 8$ km; kapal kedua di $C$ dengan $A C = 5$ km. Hitung luas segitiga $A BC$ .

Sudut apit kedua sisi adalah $A = 6 0^{\circ}$ .
$L = \frac{1}{2} \times A B \times A C \times sin 6 0^{\circ}$ .
$\frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20$ .
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , sehingga $L = 20 \times \frac{3}{2} = 103$ .

Jawaban: $103 k m^{2}$ .

Sudah dipelajari

MATWA-09

Statistika: Penyajian Data, Ukuran Pemusatan, dan Ukuran Penyebaran

Inti. Soal menguji pembacaan data dari tabel dan diagram. Juga menghitung mean, median, modus, kuartil, jangkauan, ragam, dan simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok, serta menafsirkan data.

Data 3, 5, 6, 7, 9: selisih terhadap mean 6 menghasilkan ragam 4 dan simpangan baku 2, sedangkan diagram kotak menunjukkan Q₁ = 4, Q₂ = 6, Q₃ = 8.

Rata-rata gabungan 74 lebih dekat ke 70 karena kelompok itu lebih banyak (30 siswa); 75 hanyalah rata-rata dua rata-rata dan salah.

Rumus / kaidah. Penyajian data dan ukuran pemusatan.

Diagram batang membandingkan kategori; diagram garis menunjukkan perubahan terhadap waktu; diagram lingkaran menunjukkan bagian terhadap keseluruhan (total 100% atau $36 0^{\circ}$ ); tabel frekuensi merangkum data.
Diagram lingkaran: sudut juring $= \frac{f}{n} \times 36 0^{\circ}$ , dengan $f$ frekuensi dan $n$ total.
Diagram batang, garis, dan histogram: baca nilai dari skala sumbu; periksa apakah sumbu dimulai dari nol.
Mean data tunggal: $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x}{n}$ .
Median: nilai tengah setelah data diurutkan. $n$ ganjil: data ke- $\frac{n + 1}{2}$ . $n$ genap: rata-rata data ke- $\frac{n}{2}$ dan ke- $(\frac{n}{2} + 1)$ .
Modus: nilai yang paling sering muncul.
Mean peka terhadap pencilan; median jauh lebih tahan terhadap pencilan.
Rata-rata gabungan: $\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ .
Data berkelompok: $x_{t}$ = titik tengah kelas, $f$ = frekuensi, $n = \sum f$ .
Mean berkelompok: $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum f \times x _{t}}{\sum f}$ .
Median berkelompok: $Me = Tb + \frac{n /2 - F}{f} \times p$ .
$Tb$ = tepi bawah kelas median; $F$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median; $f$ = frekuensi kelas median; $p$ = panjang kelas.
Modus berkelompok: $Mo = Tb + \frac{d _{1}}{d _{1} + d _{2}} \times p$ .
$d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya; $d_{2}$ = selisih dengan kelas sesudahnya.

Rumus / kaidah. Ukuran penyebaran.

Kuartil data tunggal: $Q_{2}$ adalah median; $Q_{1}$ median separuh data bawah; $Q_{3}$ median separuh data atas.
Konvensi yang dipakai di sini (metode buku SMA): untuk $n$ ganjil, median tidak dimasukkan pada kedua separuh.
Metode lain: $Q_{i}$ berada pada urutan data $\frac{i ( n + 1 )}{4}$ , dengan interpolasi; perangkat lunak seperti NumPy atau Excel dapat memberi nilai berbeda. Ikuti petunjuk soal.
Contoh data 1 sampai 8: $Q_{1} = 2, 5$ (separuh data) atau $2, 25$ (posisi).
Jangkauan adalah data terbesar dikurangi data terkecil. Jangkauan antarkuartil $= Q_{3} - Q_{1}$ .
Ragam data tunggal: $s^{2} = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ^{2}}{n}$ . Simpangan baku: $s = s^{2}$ .
Ragam data berkelompok: $s^{2} = \frac{\sum f ( x _{t} - x ˉ ) ^{2}}{\sum f}$ .
Konvensi yang dipakai di sini: ragam dibagi $n$ (data berkelompok: dibagi $\sum f$ ). Beberapa sumber membagi dengan $n - 1$ untuk data sampel; ikuti rumus yang diberikan soal.
Diagram kotak garis: kotak dari $Q_{1}$ ke $Q_{3}$ , garis di dalam kotak adalah $Q_{2}$ ; garis di luar kotak menuju data terkecil dan data terbesar.

Rumus / kaidah. Kuartil dan desil data berkelompok (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

Kuartil berkelompok ( $i = 1, 2, 3$ ): $Q_{i} = Tb + \frac{i \times n /4 - F}{f} \times p$ .
Desil berkelompok ( $i = 1, 2, \dots, 9$ ): $D_{i} = Tb + \frac{i \times n /10 - F}{f} \times p$ .
$Tb$ , $F$ , dan $f$ diambil dari kelas yang memuat data pada urutan $i \times n /4$ (kuartil) atau $i \times n /10$ (desil).

Rumus / kaidah. Pengaruh transformasi data (prioritas rendah).

Jika setiap data ditambah $c$ : mean, median, dan modus bertambah $c$ ; jangkauan dan simpangan baku tetap.
Jika setiap data dikali $k$ : mean dikali $k$ , simpangan baku dikali $∣ k ∣$ .
Transformasi linear $y = k x + c$ : $\overset{y}{ˉ} = k \overset{x}{ˉ} + c$ dan $s_{y} = ∣ k ∣ \times s_{x}$ .

Jebakan.

Menghitung median atau kuartil sebelum data diurutkan.
Pada $n$ genap, median adalah rata-rata dua data tengah, bukan salah satunya.
Rata-rata gabungan dihitung sebagai rata-rata dua rata-rata. Itu hanya benar bila ukuran kedua kelompok sama.
Memakai batas bawah kelas sebagai $Tb$ . $Tb$ adalah tepi bawah: batas bawah dikurangi 0,5 untuk data bulat.
Menganggap penambahan konstanta mengubah simpangan baku; sebenarnya tidak berubah.
Sudut diagram lingkaran dihitung dari $\frac{f}{n} \times 36 0^{\circ}$ . Sumbu diagram batang yang tidak dimulai dari nol menyesatkan perbandingan.

Contoh singkat. Waktu (menit) lima siswa menyelesaikan satu latihan: 3, 5, 6, 7, 9. Tentukan mean, median, ragam, simpangan baku, dan kuartil.

Mean: $\frac{3 + 5 + 6 + 7 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6$ .
Median: data sudah terurut; data ke-3 = 6.
Selisih terhadap mean: $3 - 6 = - 3$ ; $5 - 6 = - 1$ ; $6 - 6 = 0$ ; $7 - 6 = 1$ ; $9 - 6 = 3$ .
Kuadrat selisih: 9, 1, 0, 1, 9; jumlah = 20.
Ragam $= \frac{20}{5} = 4$ .
Simpangan baku $= 4 = 2$ .
Kuartil ( $n$ ganjil, median tidak ikut): $Q_{1}$ = median ${3, 5} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ ; $Q_{3}$ = median ${7, 9} = \frac{7 + 9}{2} = 8$ .
Jangkauan $= 9 - 3 = 6$ ; jangkauan antarkuartil $= 8 - 4 = 4$ .

Jawaban: mean 6, median 6, ragam 4, simpangan baku 2 menit, $Q_{1} = 4$ , $Q_{3} = 8$ .

Contoh lanjutan. Data: 4, 6, 8, 8, 9, 10, 12, 15. Tentukan mean, median, modus, $Q_{1}$ , $Q_{3}$ , dan jangkauan antarkuartil.

Jumlah data: $4 + 6 + 8 + 8 + 9 + 10 + 12 + 15 = 72$ . Banyak data $n = 8$ .
Mean $= \frac{72}{8} = 9$ .
Data sudah terurut dan $n$ genap: median $= \frac{data ke-4 + data ke-5}{2} = \frac{8 + 9}{2} = 8, 5$ .
Modus: nilai 8 muncul dua kali, yang terbanyak, maka modus $= 8$ .
Separuh bawah $(4, 6, 8, 8)$ : $Q_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ .
Separuh atas $(9, 10, 12, 15)$ : $Q_{3} = \frac{10 + 12}{2} = 11$ .
Jangkauan antarkuartil $= 11 - 7 = 4$ .

Jawaban: mean 9; median 8,5; modus 8; $Q_{1} = 7$ ; $Q_{3} = 11$ ; jangkauan antarkuartil 4 (metode belah dua seperti buku SMA; perangkat lunak berbasis interpolasi memberi 7,5 dan 10,5).

Contoh lanjutan. Rata-rata gabungan. Kelas A berisi 20 siswa dengan rata-rata 80, kelas B berisi 30 siswa dengan rata-rata 70. Tentukan rata-rata gabungan.

Jumlah nilai kelas A $= 20 \times 80 = 1.600$ .
Jumlah nilai kelas B $= 30 \times 70 = 2.100$ .
Jumlah nilai seluruhnya $= 1.600 + 2.100 = 3.700$ .
Banyak siswa $= 20 + 30 = 50$ .
Rata-rata gabungan $= \frac{3.700}{50} = 74$ .

Jawaban: 74 (bukan 75, yang hanya rata-rata dua rata-rata).

Contoh lanjutan. Data berkelompok. Tabel nilai 20 siswa: kelas 41-50 (frekuensi 2), 51-60 (4), 61-70 (8), 71-80 (2), 81-90 (4). Tentukan mean, median, dan modus.

Titik tengah kelas: 45,5; 55,5; 65,5; 75,5; 85,5.
Hasil kali $f \times x_{t}$ : $2 \times 45, 5 = 91$ ; $4 \times 55, 5 = 222$ ; $8 \times 65, 5 = 524$ ; $2 \times 75, 5 = 151$ ; $4 \times 85, 5 = 342$ .
Jumlah: $91 + 222 + 524 + 151 + 342 = 1.330$ . Mean $= \frac{1.330}{20} = 66, 5$ .
Median: $\frac{n}{2} = 10$ . Frekuensi kumulatif: 2, 6, 14, 16, 20. Data ke-10 berada di kelas 61-70 (kumulatif sebelumnya $F = 6$ , $f = 8$ ).
Tepi bawah $Tb = 61 - 0, 5 = 60, 5$ dan panjang kelas $p = 10$ .
$Me = 60, 5 + \frac{10 - 6}{8} \times 10 = 60, 5 + 5 = 65, 5$ .
Modus: kelas dengan frekuensi terbesar adalah 61-70 ( $f = 8$ ). $d_{1} = 8 - 4 = 4$ dan $d_{2} = 8 - 2 = 6$ .
$Mo = 60, 5 + \frac{4}{4 + 6} \times 10 = 60, 5 + 4 = 64, 5$ .

Jawaban: mean 66,5; median 65,5; modus 64,5.

Contoh lanjutan. (Kuartil berkelompok; dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit.) Dengan tabel pada contoh sebelumnya, tentukan $Q_{1}$ dan $Q_{3}$ .

$Q_{1}$ : urutan $\frac{n}{4} = 5$ . Frekuensi kumulatif 2, 6, ... maka data ke-5 berada di kelas 51-60 ( $F = 2$ , $f = 4$ , $Tb = 50, 5$ ).
$Q_{1} = 50, 5 + \frac{5 - 2}{4} \times 10 = 50, 5 + 7, 5 = 58$ .
$Q_{3}$ : urutan $\frac{3 n}{4} = 15$ . Data ke-15 berada di kelas 71-80 (kumulatif sebelumnya $F = 14$ , $f = 2$ , $Tb = 70, 5$ ).
$Q_{3} = 70, 5 + \frac{15 - 14}{2} \times 10 = 70, 5 + 5 = 75, 5$ .

Jawaban: $Q_{1} = 58$ dan $Q_{3} = 75, 5$ .

Contoh lanjutan. Diagram lingkaran. Dari 90 siswa, 27 siswa memilih pramuka. Tentukan sudut juring pramuka.

Sudut juring $= \frac{f}{n} \times 36 0^{\circ} = \frac{27}{90} \times 36 0^{\circ}$ .
$\frac{27}{90} = \frac{3}{10}$ .
$\frac{3}{10} \times 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .

Jawaban: $10 8^{\circ}$ .

Contoh lanjutan. (Pengaruh transformasi data; prioritas rendah.) Data 3, 5, 6, 7, 9 mempunyai mean 6 dan simpangan baku 2. Setiap data diubah menjadi $y = 3 x + 2$ . Tentukan mean dan simpangan baku data baru.

Mean baru: $\overset{y}{ˉ} = 3 \overset{x}{ˉ} + 2 = 3 (6) + 2 = 18 + 2 = 20$ .
Simpangan baku baru: $s_{y} = ∣3∣ \times s_{x} = 3 \times 2 = 6$ . Penambahan 2 tidak mengubah simpangan baku.
Periksa dengan data baru: 11, 17, 20, 23, 29 memiliki mean $\frac{100}{5} = 20$ .

Jawaban: mean 20 dan simpangan baku 6.

Sudah dipelajari

MATWA-10

Kaidah Pencacahan dan Peluang Kejadian

Inti. Soal menguji banyak cara dengan aturan penjumlahan dan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. Juga peluang kejadian tunggal dan majemuk (saling lepas, saling bebas, bersyarat).

Diagram pohon pengambilan dua bola tanpa pengembalian dari 5 merah dan 3 biru: peluang keduanya merah 5/14, dan keempat jalur berjumlah 1.

Rumus / kaidah. Aturan pencacahan.

Aturan penjumlahan (kata "atau"): kejadian pertama $m$ cara, kejadian kedua $n$ cara, tidak terjadi bersamaan, maka $m + n$ cara.
Aturan perkalian (kata "dan", berurutan): $m \times n$ cara.
Faktorial: $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ , dengan $0! = 1$ .
Permutasi (urutan diperhatikan, misalnya ketua dan sekretaris): $P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$ .
Kombinasi (urutan tidak diperhatikan, misalnya panitia atau tim): $C (n, r) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ , dengan $0 \leq r \leq n$ .
Sifat kombinasi: $C (n, r) = C (n, n - r)$ .
Permutasi dengan unsur sama: $\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots n _{k} !}$ .
Contoh: susunan huruf kata "MATEMATIKA" ada $\frac{10 !}{2 ! 3 ! 2 !} = 151.200$ , karena M muncul 2 kali, A 3 kali, T 2 kali.
Permutasi melingkar (siklis) dari $n$ unsur berbeda: $(n - 1)!$ .

Rumus / kaidah. Peluang kejadian tunggal dan majemuk.

Peluang: $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$ , bila setiap hasil di $S$ sama mungkin.
Batas peluang: $0 \leq P (A) \leq 1$ . Komplemen: $P (A^{c}) = 1 - P (A)$ .
Gabungan: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Saling lepas (tidak mungkin terjadi bersamaan): $P (A \cap B) = 0$ , sehingga $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
Saling bebas (terjadinya satu tidak memengaruhi peluang yang lain): $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .
Peluang bersyarat: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ , dengan $P (B) > 0$ .
Ruang sampel baku: 2 koin: 4; 3 koin: 8; 2 dadu: 36; kartu bridge: 52 (13 tiap jenis, 12 kartu gambar).

Rumus / kaidah. Frekuensi harapan (dilatihkan guru; di luar kisi eksplisit).

Frekuensi harapan kejadian $A$ dari $n$ percobaan: $F_{h} = P (A) \times n$ .

Jebakan.

Memilih permutasi padahal urutan tidak penting, atau sebaliknya. Tanyakan: apakah urutan mengubah hasil?
Anggota tim memakai kombinasi. Posisi atau nomor memakai permutasi.
Memakai $P (A) + P (B)$ padahal $A$ dan $B$ tidak saling lepas; irisan harus dikurangkan.
Dua dadu: $(1, 2)$ dan $(2, 1)$ adalah dua hasil berbeda, ruang sampel 36 (bukan 21).
Menyamakan saling lepas dengan saling bebas. Dua kejadian saling lepas yang masing-masing berpeluang positif justru tidak saling bebas, karena $P (A \cap B) = 0 \neq = P (A) \times P (B)$ .
Pada kata "paling sedikit satu", hitung lewat komplemen, yaitu 1 dikurangi peluang tidak ada satu pun.
Perhatikan apakah pengambilan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Pada pengambilan tanpa pengembalian, jumlah dan komposisi unsur berubah pada pengambilan berikutnya.

Contoh singkat. Kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil sekaligus secara acak. Tentukan peluang: (a) keduanya merah; (b) paling sedikit satu biru; (c) frekuensi harapan keduanya merah pada 140 percobaan (bola dikembalikan setiap selesai satu percobaan).

Banyak cara mengambil 2 dari 8 bola: $C (8, 2) = \frac{8 !}{2 ! 6 !} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ .
Banyak cara mengambil 2 bola merah: $C (5, 2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ .
(a) Peluang keduanya merah $= \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ .
(b) Paling sedikit satu biru adalah komplemen dari keduanya merah: $1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$ .
(c) Frekuensi harapan $= 140 \times \frac{5}{14} = 50$ .

Jawaban: (a) $\frac{5}{14}$ ; (b) $\frac{9}{14}$ ; (c) 50 kali.

Contoh lanjutan. Pada kotak yang sama (5 merah, 3 biru), dua bola diambil sekaligus. Tentukan peluang kedua bola berbeda warna.

$n (S) = C (8, 2) = 28$ .
Berbeda warna berarti 1 merah dan 1 biru: $C (5, 1) \times C (3, 1) = 5 \times 3 = 15$ .
Peluang $= \frac{15}{28}$ .
Periksa: dua biru ada $C (3, 2) = 3$ cara, sehingga $10 + 15 + 3 = 28$ .

Jawaban: $\frac{15}{28}$ .

Contoh lanjutan. Aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. (a) Berapa bilangan genap tiga angka berbeda yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6? (b) Dari 8 siswa dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan? (c) Dari 5 putra dan 6 putri dipilih 2 putra dan 3 putri. Berapa banyak cara?

(a) Bilangan genap: angka satuan harus 2, 4, atau 6, yaitu 3 cara.
Angka ratusan dipilih dari 5 angka yang tersisa: 5 cara. Angka puluhan dari 4 angka yang tersisa: 4 cara.
Aturan perkalian: $3 \times 5 \times 4 = 60$ .
(b) Jabatan berbeda, urutan penting, sehingga permutasi: $P (8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ .
(c) Pemilihan anggota tidak memperhatikan urutan, sehingga kombinasi: $C (5, 2) = 10$ dan $C (6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ .
Kedua pemilihan berurutan ("dan"), jadi kalikan: $10 \times 20 = 200$ .

Jawaban: (a) 60; (b) 336; (c) 200.

Contoh lanjutan. Peluang gabungan dan bersyarat pada kartu bridge (52 kartu). (a) Peluang terambil kartu As atau kartu hati. (b) Peluang terambil As, jika diketahui kartu yang terambil berwarna merah.

(a) $P (As) = \frac{4}{52}$ dan $P (hati) = \frac{13}{52}$ .
As hati termasuk kedua kejadian: $P (As \cap hati) = \frac{1}{52}$ .
$P (As \cup hati) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ .
(b) Kartu merah ada 26: $P (merah) = \frac{26}{52}$ . As merah ada 2: $P (As \cap merah) = \frac{2}{52}$ .
$P (As ∣ merah) = \frac{P ( As \cap merah )}{P ( merah )} = \frac{2/52}{26/52} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$ .

Jawaban: (a) $\frac{4}{13}$ ; (b) $\frac{1}{13}$ .

Sudah dipelajari

STRATEGI

Strategi 75 menit untuk 25 soal

Rata-rata 3 menit per soal ( $75 \div 25 = 3$ ).
Putaran 1, 45 menit: kerjakan soal yang jalur penyelesaiannya jelas dalam waktu paling lama 2 menit; tandai sisanya.
Putaran 2, 20 menit: kerjakan soal yang ditandai.
Putaran 3, 10 menit: pemeriksaan akhir.
Soal cerita: tulis dahulu yang diketahui, yang ditanya, dan satuannya.
Soal cerita: ubah ke model matematika sebelum menghitung.
Pilihan ganda kompleks (pilih semua yang benar): periksa tiap pernyataan satu per satu terhadap data soal.
Jangan mengasumsikan ada yang salah: semua pernyataan dapat benar, dan semuanya dapat salah.
Pilihan ganda kompleks kategori (benar/salah): nilai tiap baris pernyataan secara terpisah.
Pernyataan "selalu" atau "untuk semua": satu contoh penyangkal cukup untuk menyatakannya salah.
Pilihan ganda: substitusikan opsi ke persamaan atau perkirakan nilainya untuk mengeliminasi opsi yang tidak mungkin.
Cek sebelum memilih: domain fungsi (penyebut tidak nol, radikan tidak negatif); syarat $∣ r ∣ < 1$ pada deret geometri tak hingga; tanda pertidaksamaan setelah dikali atau dibagi bilangan negatif; titik pojok program linear memenuhi semua kendala.
Cek juga: peluang berada di antara 0 dan 1; panjang positif; banyak benda berupa bilangan bulat; satuan; mode derajat pada kalkulator untuk soal trigonometri.
Urutan belajar bila waktu terbatas: fungsi; SPL dan program linear; barisan dan deret (termasuk bunga); geometri dan pengukuran; pencacahan dan peluang; statistika; trigonometri (sudut elevasi dan perbandingan); transformasi titik; bilangan real.
Butir berlabel "dilatihkan guru" atau "pelengkap" dipelajari setelah semua butir inti selesai.

Sudah dipelajari